Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.3. Формула Грина 53
1-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Oy область, т. е. имеет вид (1) (см. рис. 20.2).
Сводя двойной интеграл к повторному и используя формулу
D
y = ϕ(x)
y
=
ψ
(
x
)
A
B
C
D
x
y
a
b
Рис. 20.2
Ньютона–Лейбница, имеем
ZZ
D
∂P
∂y
dx dy =
Z
b
a
Z
ψ(x)
ϕ(x)
∂P
∂y
dy dx =
=
Z
b
a
[P (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x))] dx =
=
Z
DC
P (x, y) dx −
Z
AB
P (x, y) dx =
= −
Z
CD
P dx −
Z
AB
P dx = −
Z
∂D
+
P dx,
т. е. равенство (3).
При получении последнего равенства были добавлены рав-
ные нулю слагаемые
R
BA
P dx = 0,
R
DA
P dx = 0.
2-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Ox область, т. е. имеет вид (2), причем кривые
Γ
1
= {(x = ϕ(y), y) : c 6 y 6 d},
Γ
2
= {(x = ψ(y), y) : c 6 y 6 d}
(5)
являются ломаными. Тогда при некотором разбиении {c
i
}
k
i=0
отрезка [c, d] функции ϕ, ψ линейны на каждом отрезке
[c
i−1
, c
i
]. При этом замкнутая область D представляетс я в виде
                      § 20.3. Формула Грина                             53

   1-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Oy область, т. е. имеет вид (1) (см. рис. 20.2).
Сводя двойной интеграл к повторному и используя формулу

             y
                                 y = ψ (x)             C
                     D
                                      D
                     A
                                y = ϕ(x)               B

                       a                           b       x
                                Рис. 20.2

Ньютона–Лейбница, имеем
ZZ             Z b Z ψ(x)
    ∂P                     ∂P
       dx dy =                  dy dx =
  D ∂y           a   ϕ(x) ∂y
               Z b
            =      [P (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x))] dx =
              Za                  Z
            =  P (x, y) dx −  P (x, y) dx =
                DC                  AB
                            Z            Z          Z
                       = −  P dx −  P dx = −                       P dx,
                                 CD               AB           ∂D+

т. е. равенство (3).
    При получении последнего  равенства  были добавлены рав-
                                    
                     R             R
ные нулю слагаемые       P dx = 0,     P dx = 0.
                           BA                DA
   2-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Ox область, т. е. имеет вид (2), причем кривые
                 Γ1 = {(x = ϕ(y), y) : c 6 y 6 d},
                                                                       (5)
                 Γ2 = {(x = ψ(y), y) : c 6 y 6 d}
являются ломаными. Тогда при некотором разбиении {ci }ki=0
отрезка [c, d] функции ϕ, ψ линейны на каждом отрезке
[ci−1 , ci ]. При этом замкнутая область D представляется в виде

Страницы