Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 67
области D
∗
= F (D). Контур Γ
∗
с такой ориентацией относи-
тельно D
∗
обозначим через Γ
∗±
. В силу (20.3.13) имеем
µD
∗
= ±
Z
Γ
∗±
x dy = ±
Z
b
a
xy
0
t
dt =
= ±
Z
b
a
x
∂y
∂u
du
dt
+
∂y
∂v
dv
dt
dt = ±
Z
Γ
+
x
∂y
∂u
du + x
∂y
∂v
dv.
Положим x
∂y
∂u
= P , x
∂y
∂v
= Q. Тогда
∂Q
∂u
=
∂x
∂u
∂y
∂v
+ x
∂
2
y
∂u∂v
,
∂P
∂v
=
∂x
∂v
∂y
∂u
+ x
∂
2
y
∂v∂u
.
Будем дополнительно предполагать, что на области G не-
прерывны, а следовательно, и равны, производные
∂
2
y
∂u∂v
,
∂
2
y
∂v∂u
.
Применяя к последнему интегралу формулу Грина (20.3.3), по-
лучаем, что в зависимости от ориентации Γ
∗±
µD
∗
= ±
ZZ
D
∂Q
∂u
−
∂P
∂v
du dv = ±
ZZ
D
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. (1)
В силу положительности левой части этой цепочки ра-
венств положительна и правая часть, так что в области G
±
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∂(x, y)
∂(u, v)
> 0.
Рассматривая отдельно случаи различной ориентации кон-
тура Γ
∗
(т. е. Γ
∗+
и Γ
∗−
) и соответственно беря знаки в (1),
приходим к следующему выводу.
В случае положительного якобиана при отображении
ориентация граничного контура относительно области со-
храняется, а в случае отрицательного якобиана — меняется
на противоположную.
Отметим еще, что равенство (1) можно переписать в виде
µD
∗
=
RR
D
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. Таким образом, при иных (сде-
ланных здесь) предположениях получено новое доказательство
формулы (19.5.11), из которой с помощью теоремы о среднем
вытекает и формула (19.4.3) (геометрический смысл модуля
якобиана отображения).
  § 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения       67

области D∗ = F (D). Контур Γ∗ с такой ориентацией относи-
тельно D∗ обозначим через Γ∗± . В силу (20.3.13) имеем
        Z             Z b
   ∗
µD = ±       x dy = ±     xyt0 dt =
         Γ∗±           a
        Z b                             Z
                ∂y du ∂y dv                     ∂y        ∂y
     =±     x         +            dt = ±     x    du + x    dv.
          a     ∂u dt    ∂v dt             Γ+   ∂u        ∂v
             ∂y
   Положим x ∂u = P , x ∂y
                        ∂v = Q. Тогда
      ∂Q    ∂x ∂y     ∂2y    ∂P    ∂x ∂y      ∂2y
         =        +x      ,     =        +x       .
      ∂u    ∂u ∂v    ∂u∂v    ∂v    ∂v ∂u     ∂v∂u
   Будем дополнительно предполагать, что на области G не-
                                                      2        2
                                                  ∂ y    ∂ y
прерывны, а следовательно, и равны, производные ∂u∂v  , ∂v∂u .
Применяя к последнему интегралу формулу Грина (20.3.3), по-
лучаем, что в зависимости от ориентации Γ∗±
           ZZ                       ZZ
     ∗           ∂Q ∂P                    ∂(x, y)
  µD = ±             −      du dv = ±             du dv. (1)
              D   ∂u   ∂v               D ∂(u, v)
   В силу положительности левой части этой цепочки ра-
венств положительна и правая часть, так что в области G
                   ∂(x, y)   ∂(x, y)
                 ±         =         > 0.
                   ∂(u, v)   ∂(u, v)
   Рассматривая отдельно случаи различной ориентации кон-
тура Γ∗ (т. е. Γ∗+ и Γ∗− ) и соответственно беря знаки в (1),
приходим к следующему выводу.
   В случае положительного якобиана при отображении
ориентация граничного контура относительно области со-
храняется, а в случае отрицательного якобиана — меняется
на противоположную.
   Отметим еще, что равенство (1) можно переписать в виде
   ∗
        RR ∂(x, y)
µD =      D ∂(u, v) du dv.   Таким образом, при иных (сде-
ланных здесь) предположениях получено новое доказательство
формулы (19.5.11), из которой с помощью теоремы о среднем
вытекает и формула (19.4.3) (геометрический смысл модуля
якобиана отображения).

Страницы