Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.5. Потенциальные векторные поля 69
II
00
. Для любых двух фиксированных точек A, B ∈ G значе-
ние интеграла
Z
AB
(~a, d~r),
где
AB — произвольная кусочно гладкая кривая, лежащая в G
и соединяющая точки A и B, не зависит от кривой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что II
0
⇔II
00
.
Пусть выполнено II
0
и Γ
+
1
, Γ
+
2
— две кривые, лежащие в G,
начала которых находятся в точке A, а концы — в точке B.
Тогда в Γ
+
1
∪Γ
−
2
является ориентированным контуром и в силу
II
0
Z
Γ
+
1
(~a, d~r) +
Z
Γ
−
2
(~a, d~r) = 0.
Заменив во втором интеграле ориентацию кривой Γ
−
2
на про-
тивоположную на Γ
+
2
, получаем
Z
Γ
+
1
(~a, d~r) −
Z
Γ
+
2
(~a, d~r) = 0,
т. е. утверждение II
00
.
Пусть выполнено II
00
и Γ
+
⊂ G — произвольный кусочно
гладкий контур. Пусть точки A, B ∈ Γ и кривые
AB,
BA
являются дугами контура Γ
+
, причем ориентация на каждой
из них совпадает с ориентацией контура Γ
+
, т. е. Γ
+
=
AB ∪
∪
BA.
Через Γ
+
1
=
AB и Γ
+
2
=
BA обозначим части контура Γ
+
той же ориентации, что и Γ
+
:
Γ
+
=
AB ∪
BA = Γ
+
1
∪ Γ
+
2
.
Тогда Γ
+
1
и Γ
−
2
— две кусочно гладкие кривые с началами
в A и концами в B. В силу II
00
Z
Γ
+
(~a, d~r) =
Z
Γ
+
1
(~a, d~r) +
Z
Γ
+
2
(~a, d~r) =
=
Z
Γ
+
1
(~a, d~r) −
Z
Γ
−
2
(~a, d~r) = 0.
             § 20.5. Потенциальные векторные поля                             69

  II00 . Для любых двух фиксированных точек A, B ∈ G значе-
         ние интеграла      Z
                               (~a, d~r),
                                  AB
      
где AB — произвольная кусочно гладкая кривая, лежащая в G
и соединяющая точки A и B, не зависит от кривой.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что II0 ⇔II00 .
Пусть выполнено II0 и Γ+            +
                               1 , Γ2 — две кривые, лежащие в G,
начала которых находятся в точке A, а концы — в точке B.
                 −
Тогда в Γ+ 1 ∪ Γ2 является ориентированным контуром и в силу
II0                  Z               Z
                         (~a, d~r) +   (~a, d~r) = 0.
                    Γ+
                     1                Γ−
                                       2
Заменив во втором интеграле ориентацию кривой Γ−  2 на про-
тивоположную на Γ+2 ,  получаем
                Z                Z
                     (~a, d~r) −   (~a, d~r) = 0,
                    Γ+
                     1                Γ+
                                       2

т. е. утверждение II00 .
     Пусть выполнено II00 и Γ+ ⊂ G — произвольный кусочно
                                                        
гладкий контур. Пусть точки A, B ∈ Γ и кривые AB, BA
являются дугами контура Γ+ , причем ориентация на каждой
                                                       
из них совпадает с ориентацией контура Γ+ , т. е. Γ+ = AB ∪
   
∪ BA.
                            
     Через Γ+            +
            1 = AB и Γ2 = BA обозначим части контура Γ
                                                           +

той же ориентации, что и Γ :+

                                 
                   Γ+ = AB ∪ BA = Γ+    +
                                   1 ∪ Γ2 .
                    −
   Тогда Γ+   1 и Γ2 — две кусочно гладкие кривые с началами
в A и концами в B. В силу II00
Z              Z              Z
   (~a, d~r) =    (~a, d~r) +   (~a, d~r) =
 Γ+           Γ+
               1             Γ+
                              2
                                           Z                  Z
                                       =        (~a, d~r) −        (~a, d~r) = 0.
                                           Γ+
                                            1                 Γ−
                                                               2

Страницы