Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.5. Потенциальные векторные поля 73
=
2π
Z
0
−
R sin θ
R
2
R(−sin θ) +
R cos θ
R
2
r cos θ
dθ =
2π
Z
0
dθ = 2π.
Определение 2. Плоская область G называется односвяз-
ной, если для всякой ограниченной плоской области D, грани-
цей ∂D которой является простой кусочно гладкий контур, из
условия ∂D ⊂ G следует D ⊂ G.
Односвязность G означает, грубо говоря, что область G не
имеет дыр.
Теорема 3. Пусть в плоской односвязной области G задано
непрерывно дифференцируемое векторное поле ~a = (P, Q) и
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0 в G.
Тогда поле ~a потенциально в G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно (в силу теоремы 1) по-
казать, что
R
Γ
(~a, d~r) = 0 для любого простого кусочно глад-
кого контура Γ ⊂ G. Пусть такой контур Γ является границей
ограниченной области D (∂D = Γ). По формуле Грина
Z
∂D
+
P dx + Q dy =
ZZ
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy = 0.
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 2. Везде в этом параграфе вместо
кусочно гладких кривых можно было бы брать лишь ломаные.
Все определения и полученные при этом утверждения оказа-
лись бы эквивалентны приведенным в с илу леммы 20.2.1 об
аппроксимации криволинейного интеграла.
             § 20.5. Потенциальные векторные поля              73

      Z2π                                           Z2π
             R sin θ              R cos θ
    =      −         R(− sin θ) +         r cos θ dθ = dθ = 2π.
              R2                    R2
       0                                              0

   Определение 2. Плоская область G называется односвяз-
ной, если для всякой ограниченной плоской области D, грани-
цей ∂D которой является простой кусочно гладкий контур, из
условия ∂D ⊂ G следует D ⊂ G.
   Односвязность G означает, грубо говоря, что область G не
имеет дыр.
   Теорема 3. Пусть в плоской односвязной области G задано
непрерывно дифференцируемое векторное поле ~a = (P, Q) и
∂Q   ∂P
∂x − ∂y = 0 в G.
   Тогда поле ~a потенциально в G.
   Д о к а з аR т е л ь с т в о. Достаточно (в силу теоремы 1) по-
казать, что Γ (~a, d~r) = 0 для любого простого кусочно глад-
кого контура Γ ⊂ G. Пусть такой контур Γ является границей
ограниченной области D (∂D = Γ). По формуле Грина
        Z                       ZZ             
                                      ∂Q ∂P
              P dx + Q dy =              −        dx dy = 0.
         ∂D+                       D  ∂x    ∂y
   Теорема доказана.
   З а м е ч а н и е 2. Везде в этом параграфе вместо
кусочно гладких кривых можно было бы брать лишь ломаные.
Все определения и полученные при этом утверждения оказа-
лись бы эквивалентны приведенным в силу леммы 20.2.1 об
аппроксимации криволинейного интеграла.

Страницы