Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 21. Элементы теории поверхностей
§ 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности
Пусть область G ⊂ R
3
и функция F : G → R непрерывно
дифференцируема и F
02
x
+F
02
y
+F
02
z
> 0 на G. Тогда множество
точек
S = {(x, y, z) : (x, y, z) ∈ G, F (x, y, z) = 0}
будем называть неявно заданной гладкой поверхностью.
Примером такой поверхности является сфера, определяемая
уравнением x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
, R > 0.
Поверхность S локально можно представить как явно за-
данную гладкую поверхность. В самом деле , пусть, например,
F (x
0
, y
0
, z
0
) = 0 и F
0
z
(x
0
, y
0
, z
0
) 6= 0. Тогда по теореме о неявной
функции в некоторой окрестности U ((x
0
, y
0
)) × U (z
0
) F
0
z
6= 0 и
уравнение F (x, y, z) = 0 эквивалентно уравнению
z = f (x, y), (x, y) ∈ U((x
0
, y
0
)),
где f — непрерывно дифференцируемая на U ((x
0
, y
0
)) функ-
ция,
f
0
x
= −
F
0
x
F
0
z
, f
0
y
= −
F
0
y
F
0
z
.
В качестве нормали (см. (21.2.7)) удобно взять вектор
grad F B F
0
x
~ı + F
0
y
~ + F
0
z
~
k.
Уравнение касательной в точке (x
0
, y
0
, z
0
) плоскости имеет
вид
(x − x
0
)F
0
x
(x
0
, y
0
, z
0
) + (y − y
0
)F
0
y
(x
0
, y
0
, z
0
)+
+(z − z
0
)F
0
z
(x
0
, y
0
, z
0
) = 0,
а уравнение нормальной прямой —
x − x
0
F
0
x
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
y − y
0
F
0
y
(x
0
, y
0
, z
0
)
=
z − z
0
F
0
z
(x
0
, y
0
, z
0
)
.
Если рассмотреть поверхнос ть уровня функции F , т. е. по-
верхность, определяемую уравнением F (x, y, z) = c, то из пред-
шествующего следует, что grad F ортогонален поверхности
уровня. Последнее свойство согласуется, конечно, с тем, что
grad F указывает направление быстрейшего роста функции F .
84               Глава 21. Элементы теории поверхностей

     § 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности
   Пусть область G ⊂ R3 и функция F : G → R непрерывно
дифференцируема и Fx02 + Fy02 + Fz02 > 0 на G. Тогда множество
точек
             S = {(x, y, z) : (x, y, z) ∈ G, F (x, y, z) = 0}
будем называть неявно заданной гладкой поверхностью.
    Примером такой поверхности является сфера, определяемая
уравнением x2 + y 2 + z 2 = R2 , R > 0.
    Поверхность S локально можно представить как явно за-
данную гладкую поверхность. В самом деле, пусть, например,
F (x0 , y0 , z0 ) = 0 и Fz0 (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. Тогда по теореме о неявной
функции в некоторой окрестности U ((x0 , y0 )) × U (z0 ) Fz0 6= 0 и
уравнение F (x, y, z) = 0 эквивалентно уравнению
                    z = f (x, y),     (x, y) ∈ U ((x0 , y0 )),
где f — непрерывно дифференцируемая на U ((x0 , y0 )) функ-
ция,
                        F0                Fy0
                 fx0 = − x0 , fy0 = − 0 .
                        Fz                Fz
   В качестве нормали (см. (21.2.7)) удобно взять вектор
                 grad F B F 0~ı + F 0~ + F 0~k.
                                       x       y         z

   Уравнение касательной в точке (x0 , y0 , z0 ) плоскости имеет
вид
(x − x0 )Fx0 (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )Fy0 (x0 , y0 , z0 )+
                                                   +(z − z0 )Fz0 (x0 , y0 , z0 ) = 0,
а уравнение нормальной прямой —
            x − x0              y − y0              z − z0
          0
                           = 0                 = 0                 .
        Fx (x0 , y0 , z0 )  Fy (x0 , y0 , z0 )  Fz (x0 , y0 , z0 )
   Если рассмотреть поверхность уровня функции F , т. е. по-
верхность, определяемую уравнением F (x, y, z) = c, то из пред-
шествующего следует, что grad F ортогонален поверхности
уровня. Последнее свойство согласуется, конечно, с тем, что
grad F указывает направление быстрейшего роста функции F .

Страницы