Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 86 стр.

86            Глава 21. Элементы теории поверхностей

∂ (i) Sj внутренней частью края ∂Sj , а ∂ (e) Sj B ∂Sj \ ∂ (i) Sj на-
зовем внешней частью края ∂Sj .
      Краем кусочно гладкой поверхности S назовем множество
          I
            ∂ (e) Si . Край ∂S является либо пустым множеством
          S
∂S B
       i=1
(в этом случае S называется поверхностью без края), либо со-
стоит из конечного числа кусочно гладких контуров (в этом
случае S называется поверхностью с краем).
    Так, например, краем боковой поверхности пирамиды явля-
ется периметр ее основания, а поверхность куба является ку-
сочно гладкой поверхностью без края.
    З а м е ч а н и е. Понятия кусочно гладкой поверх-
ности S и края ∂S кусочно гладкой поверхности можно было
бы обобщить, если считать, что соседние куски поверхности
Si и Sj «склеиваются» не по всем кривым из ∂Si ∩ ∂Sj (как в
нашем случае), а лишь по некоторым избранным (и не называ-
ются соседними, если в ∂Si ∩ ∂Sj нет кривых «склейки»). При
таком подходе краем ∂S лежащего в плоскости z = 0 кольца с
разрезом по радиусу можно считать объединение двух окруж-
ностей и этого разреза по радиусу, а у последнего различать
два берега. Однако для наших дальнейших целей достаточно
приведенных менее сложных определений соседних кусков по-
верхностей и края кусочно гладкой поверхности.
    Рассмотрим пример другой поверхности, называемой ли-
стом Мёбиуса. Он получится, если, взяв полоску бумаги пря-
моугольной формы, повернуть один из ее концов вокруг сред-
ней линии на 180◦ и склеить оба конца. На листе Мёбиуса
нельзя задать непрерывное поле нормалей. Такая поверхность
называется неориентируемой или односторонней. Разрезав же
лист Мёбиуса по месту склейки бумаги, можно представить
его как (ориентируемый, т. е. двусторонний) кусок поверхно-
сти.
    Обсудим связь между ориентацией гладкого куска поверх-
ности S (1) и ориентацией его края ∂S.
    Пусть контур ∂D ориентирован положительно относитель-