Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§22.1. Поверхностные интегралы первого рода 91
u
v
0
h
h
E
i
x
y
z
u
=
const
v
=
const
~r
v
h
~r
u
h
Рис. 22.1 Рис. 22.2
области D. Пусть m достаточно велико и E
i
∩∂D = ∅. Тогда
E
i
представляет собой квадрат вида
E
i
= {(u, v) : u
i
6 u 6 u
i
+ h, v
i
6 v 6 v
i
+ h} ⊂ D.
При переходе от ве ршины (u
i
, v
i
) к соседним ве ршинам E
i
радиус-вектор ~r(u, v) получит приращения
~r(u
i
+ h, v
i
) −~r(u
i
, v
i
) =~r
0
u
(u
i
, v
i
)h +~o(h),
~r(u
i
, v
i
+ h) −~r(u
i
, v
i
) =~r
0
v
(u
i
, v
i
)h +~o(h).
Заменим образ квадрата E
i
«близким» ему параллелограммом,
лежащим в касательной плоскости к поверхности S в точке
ˆr(u
i
, v
i
) и построенным на векторах~r
0
u
(u
i
, v
i
)h,~r
0
v
(u
i
, v
i
)h с пло-
щадью |~r
0
u
×~r
0
v
|
(u
i
,v
i
)
µE
i
.
Если же E
i
∩ ∂D 6= ∅, то E
i
⊂ U
2
−m+1
(∂D) и че-
рез (u
i
, v
i
) обозначим произвольную точку из E
i
. Поскольку
µ
∗
U
2
−m+1
(∂D) → 0 при m → ∞ (лемма 18.2.3), получаем в
силу сходимости сумм Римана к интегралу, что при m → ∞
X
16i6i
m
E
i
6∈U
2
−m+1
(∂G)
|~r
0
u
×~r
0
v
|
(u
i
,v
i
)
µE
i
→
ZZ
S
|~r
0
u
×~r
0
v
|du dv.
Часто выражение |~r
0
u
×~r
0
v
|du dv называют элементом пло-
щади и обозначают символом dS. Учитывая еще фор-
           § 22.1. Поверхностные интегралы первого рода                          91

                                                                  ~rv h
                                          z
 v
                                                                   ~ru h




                                                          t
                                                      ns



                                                                       v=
                                                    co
           h Ei




                                                 u=




                                                                        con
             h




                                                                            st
                                                                                 y
  0                             u
                                     x
            Рис. 22.1                               Рис. 22.2

области D. Пусть m достаточно велико и E i ∩ ∂D = ∅. Тогда
Ei представляет собой квадрат вида
      Ei = {(u, v) : ui 6 u 6 ui + h, vi 6 v 6 vi + h} ⊂ D.
   При переходе от вершины (ui , vi ) к соседним вершинам Ei
радиус-вектор ~r(u, v) получит приращения
            ~r(ui + h, vi ) −~r(ui , vi ) = ~r0u (ui , vi )h +~o(h),
            ~r(ui , vi + h) −~r(ui , vi ) = ~r0v (ui , vi )h +~o(h).
Заменим образ квадрата Ei «близким» ему параллелограммом,
лежащим в касательной плоскости к поверхности S в точке
r̂(ui , vi ) и построенным на векторах~r0u (ui , vi )h,~r0v (ui , vi )h с пло-
щадью |~r0u ×~r0v |(ui ,vi ) µEi .
    Если же E i ∩ ∂D 6= ∅, то Ei ⊂ U2−m+1 (∂D) и че-
рез (ui , vi ) обозначим произвольную точку из Ei . Поскольку
µ∗ U2−m+1 (∂D) → 0 при m → ∞ (лемма 18.2.3), получаем в
силу сходимости сумм Римана к интегралу, что при m → ∞
                X                                  ZZ
                            0      0
                        |~ru ×~rv |(ui ,vi ) µEi →    |~r0u ×~r0v | du dv.
             16i6im                                   S
       Ei 6∈U −m+1 (∂G)
              2


  Часто выражение |~r0u ×~r0v | du dv называют элементом пло-
щади и обозначают символом dS.            Учитывая еще фор-

Страницы