Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

94 Глава 22. Поверхностные интегралы
+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
∂(z, x)
∂(u, v)
+
+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. (5)
Поверхностный интеграл второго рода по ориентированной
кусочно гладкой поверхности определяется как сумма поверх-
ностных по соответственно ориентированным гладким кускам
этой поверхности.
При доказательстве теоремы Остроградского–Гаусса нам
понадобится выражение потока векторного поля через гладкий
кусок поверхности в некоторой повернутой декартовой системе
координат, который в исходной системе координат имеет явное
описание более общего вида, чем в определении 21.5.1. Приве-
дем в связи с этим
Определение 3. Поверхность
S = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D}, (6)
где D — ограниченная плоская область, ∂D — простой ку-
сочно гладкий контур, назовем явно заданным почти гладким
куском поверхности, если
1.
◦
функция f непрерывна на D и непрерывно дифферен-
цируема на D;
2.
◦
в некоторой декартовой системе координат O˜x˜y˜z, повер-
нутой относительно Oxyz, множество S из (6) предста-
вляется как явно заданный гладкий кусок поверхности.
Почти гладкий кусок поверхности является гладким кус-
ком поверхности (определение 21.5.1), если f непрерывно диф-
ференцируема не только на D, но и на D.
Примером почти гладкого куска поверхности является
часть сферы
{(x, y, z) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x > 0, y > ε, z > 0}, 0 6 ε < 1.
Ее можно представить как явно заданный гладкий кусок по-
верхности в повернутой системе координат O˜x˜y˜z, в которой
O˜z совпадает с лучом x = y = z > 0 (при ε > 0 в качестве оси
O˜z можно взять ось Oy).
94              Глава 22. Поверхностные интегралы

                                          ∂(z, x)
              +Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))       +
                                          ∂(u, v)
                                                       
                                               ∂(x, y)
                 +R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))          du dv. (5)
                                               ∂(u, v)
   Поверхностный интеграл второго рода по ориентированной
кусочно гладкой поверхности определяется как сумма поверх-
ностных по соответственно ориентированным гладким кускам
этой поверхности.
   При доказательстве теоремы Остроградского–Гаусса нам
понадобится выражение потока векторного поля через гладкий
кусок поверхности в некоторой повернутой декартовой системе
координат, который в исходной системе координат имеет явное
описание более общего вида, чем в определении 21.5.1. Приве-
дем в связи с этим
     Определение 3. Поверхность
                S = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D},             (6)
где D — ограниченная плоская область, ∂D — простой ку-
сочно гладкий контур, назовем явно заданным почти гладким
куском поверхности, если
    1.◦ функция f непрерывна на D и непрерывно дифферен-
        цируема на D;
      ◦
    2. в некоторой декартовой системе координат Ox̃ỹz̃, повер-
        нутой относительно Oxyz, множество S из (6) предста-
        вляется как явно заданный гладкий кусок поверхности.
   Почти гладкий кусок поверхности является гладким кус-
ком поверхности (определение 21.5.1), если f непрерывно диф-
ференцируема не только на D, но и на D.
   Примером почти гладкого куска поверхности является
часть сферы
{(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = 1, x > 0, y > ε, z > 0},   0 6 ε < 1.
Ее можно представить как явно заданный гладкий кусок по-
верхности в повернутой системе координат Ox̃ỹz̃, в которой
Oz̃ совпадает с лучом x = y = z > 0 (при ε > 0 в качестве оси
Oz̃ можно взять ось Oy).

Страницы