Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 23
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 23.1. Скалярные и векторные поля
Здесь будут рассматриваться числовые или векторные
функции, заданные на плоских или трехмерных областях. При
этом будем говорить, что на данной области задано скаляр-
ное или соответственно векторное поле. Если заданные функ-
ции непрерывны, дифференцируемы и т. п., будем говорить со-
ответственно, что скалярное или векторное поле непрерывно,
дифференцируемо и т. п.
Введем символический вектор, называемый оператором
Гамильтона или оператором «набла»:
∇ =~ı
∂
∂x
+~
∂
∂y
+
~
k
∂
∂z
.
Тогда градиент числовой функции u
grad u = ∇u,
если правую часть понимать как «произведение» вектора на-
бла на числовую функцию u.
Пусть задано векторное поле ~a: G → R
3
, G ⊂ R
3
.
Его производной по направлению ~e = (cos α, cos β, cos γ) в
точке (x
0
, y
0
, z
0
) ∈ G называется
∂~a(x
0
, y
0
, z
0
)
∂~e
B
d
dt
~a(x
0
+ t cos α, y
0
+ t cos β, z
0
+ t cos γ)
t=0
,
если производная в правой части существует.
По правилу дифференцирования сложной функции
∂~a
∂~e
=
∂~a
∂x
cos α +
∂~a
∂y
cos β +
∂~a
∂z
cos γ = (~e, ∇)~a,
где скалярное произведение
(~e, ∇) = cos α
∂
∂x
+ cos β
∂
∂y
+ cos γ
∂
∂z
.
           Глава 23
 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

         § 23.1. Скалярные и векторные поля
   Здесь будут рассматриваться числовые или векторные
функции, заданные на плоских или трехмерных областях. При
этом будем говорить, что на данной области задано скаляр-
ное или соответственно векторное поле. Если заданные функ-
ции непрерывны, дифференцируемы и т. п., будем говорить со-
ответственно, что скалярное или векторное поле непрерывно,
дифференцируемо и т. п.
   Введем символический вектор, называемый оператором
Гамильтона или оператором «набла»:
                               ∂      ∂       ∂
                     ∇ =~ı        +~    + ~k    .
                               ∂x     ∂y      ∂z
   Тогда градиент числовой функции u
                             grad u = ∇u,
если правую часть понимать как «произведение» вектора на-
бла на числовую функцию u.
   Пусть задано векторное поле ~a: G → R3 , G ⊂ R3 .
   Его производной по направлению ~e = (cos α, cos β, cos γ) в
точке (x0 , y0 , z0 ) ∈ G называется
 ∂~a(x0 , y0 , z0 )  d
                    B ~a(x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ)         ,
       ∂~e           dt                                              t=0
если производная в правой части существует.
   По правилу дифференцирования сложной функции
         ∂~a   ∂~a         ∂~a         ∂~a
             =     cos α +     cos β +     cos γ = (~e, ∇)~a,
         ∂~e   ∂x          ∂y          ∂z
где скалярное произведение
                               ∂          ∂          ∂
             (~e, ∇) = cos α      + cos β    + cos γ    .
                               ∂x         ∂y         ∂z

Страницы