Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 102 стр.

102            Глава 23. Скалярные и векторные поля

Интеграл в правой части (3) не зависит от выбора прямоуголь-
ной системы координат в R3 , так что и дивергенция векторного
поля не зависит от выбора прямоугольной системы координат.
Формула (3) может служить определением дивергенции. Такое
определение дивергенции называют геометрическим.
    Упражнение 1. Выразить меру области G ⊂ R3 через по-
верхностные интегралы, применив формулу Остроградского–
Гаусса к каждому из векторных полей: ~a = x~ı, ~a = y~, ~a = z~k,
~a = 31 (x~ı + y~ + z~k).
   Определение 2. Ограниченную область G ⊂ R3 , удовле-
творяющую условиям теоремы Остроградского–Гаусса, будем
называть допустимой.
   Определение 3. Непрерывно дифференцируемое в обла-
сти G ⊂ R3 векторное поле ~a = ~a(x, y, z) называется соленои-
дальным, если
                    div~a = 0 на G.
    Теорема 2. Для того чтобы непрерывно дифференцируе-
мое в области G векторное поле было соленоидальным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы был равен нулю его поток в на-
правлении внешней нормали через границу любой допустимой
области D, замыкание которой D ⊂ G.
    Д о к а з а т е л ь с т в о достаточности следует из фор-
мулы (23.3.3), а необходимости — из формулы Остроградско-
го–Гаусса (23.3.2).
    Определение 4. Область G ⊂ R3 называется объемно
односвязной, если для любой допустимой области D ⊂ R3 из
условия ∂D ⊂ G следует, что D ⊂ G.
    Можно сказать условно, что объемно односвязная область
не имеет «дыр», «пустот».
    З а м е ч а н и е 1. Дают и отличное от определения 3
определение соленоидального поля в области G ⊂ R3 , называя
соленоидальным такое непрерывно дифференцируемое вектор-
ное поле, для которого равен нулю поток в направлении внеш-
ней нормали через границу ∂D любой допустимой области D
с границей ∂D ⊂ G.