Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

106 Глава 23. Скалярные и векторные поля
Д о к а з а т е л ь с т в о состоит в применении формулы
Стокса для каждого куска поверхности S
i
и сложения полу-
ченных равенств. При этом части контурных интегралов по
общей части ∂S
i
∩∂S
j
(i 6= j) соседних кусков S
i
и S
j
взаимно
уничтожаются, поскольку они отличаются лишь ориентацией
кривых, входящих в ∂S
i
∩ ∂S
j
, определяемой ориентацией S
i
и S
j
.
Теорема Стокса дает возможность геометрического под-
хода к понятию вихря поля. Пусть ~a = ~a(x, y, z) — непре-
рывно дифференцируемое в окрестности точки (x
0
, y
0
, z
0
) век-
торное поле, ~ν — единичный вектор, D
ε
— круг радиуса ε > 0
с центром в (x
0
, y
0
, z
0
) в плоскости, ортогональной ~ν. Тогда по
формуле Стокса и теореме о среднем
Z
∂D
ε
(~a, d~r) =
ZZ
D
ε
(rot~a,~ν) dS = (rot~a,~ν)
(x
ε
,y
ε
,z
ε
)
µD
ε
,
где ориентация окружности ∂D
ε
согласована с ~ν по «правилу
штопора», точка (x
ε
, y
ε
, z
ε
) ∈ D
ε
. Отсюда
(rot~a,~ν)
(x
0
,y
0
,z
0
)
= lim
ε→0
1
µD
ε
Z
∂D
ε
(rot~a, d~r). (5)
Поскольку криволинейный интеграл второго рода не зави-
сит от сдвига и поворота ортогональной системы координат,
то и (rot~a,~ν) не зависит от сдвига и поворота ортогональной
системы координат. То же относится, следовательно, и к rot~a
в силу произвольности вектора ~ν.
Правая часть (5) может быть принята за определение про-
екции rot~a на ~ν.
§ 23.4. Потенциальные векторные поля
(продолжение)
Напомним определение 20.5.1 потенциального поля.
Определение 1. Непрерывное на области G ⊂ R
3
век-
торное поле ~a = P~ı + Q~ + R
~
k называется потенциальным в
106             Глава 23. Скалярные и векторные поля

    Д о к а з а т е л ь с т в о состоит в применении формулы
Стокса для каждого куска поверхности Si и сложения полу-
ченных равенств. При этом части контурных интегралов по
общей части ∂Si ∩ ∂Sj (i 6= j) соседних кусков Si и Sj взаимно
уничтожаются, поскольку они отличаются лишь ориентацией
кривых, входящих в ∂Si ∩ ∂Sj , определяемой ориентацией Si
и Sj .
    Теорема Стокса дает возможность геометрического под-
хода к понятию вихря поля. Пусть ~a = ~a(x, y, z) — непре-
рывно дифференцируемое в окрестности точки (x0 , y0 , z0 ) век-
торное поле, ~ν — единичный вектор, Dε — круг радиуса ε > 0
с центром в (x0 , y0 , z0 ) в плоскости, ортогональной ~ν. Тогда по
формуле Стокса и теореме о среднем
      Z               ZZ
          (~a, d~r) =       (rot~a,~ν) dS = (rot~a,~ν)     µDε ,
        ∂Dε           Dε                         (xε ,yε ,zε )

где ориентация окружности ∂Dε согласована с ~ν по «правилу
штопора», точка (xε , yε , zε ) ∈ Dε . Отсюда
                                            Z
                                          1
          (rot~a,~ν)               = lim         (rot~a, d~r). (5)
                     (x0 ,y0 ,z0 )   ε→0 µDε ∂Dε


   Поскольку криволинейный интеграл второго рода не зави-
сит от сдвига и поворота ортогональной системы координат,
то и (rot~a,~ν) не зависит от сдвига и поворота ортогональной
системы координат. То же относится, следовательно, и к rot~a
в силу произвольности вектора ~ν.
   Правая часть (5) может быть принята за определение про-
екции rot~a на ~ν.

         § 23.4. Потенциальные векторные поля
                     (продолжение)
      Напомним определение 20.5.1 потенциального поля.
   Определение 1. Непрерывное на области G ⊂ R3 век-
торное поле ~a = P~ı + Q~ + R~k называется потенциальным в

Страницы