Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 108 стр.

108            Глава 23. Скалярные и векторные поля

см. пример 20.5.1.
   Условие (3) оказывается необходимым и достаточным усло-
вием потенциальности поля для областей G ⊂ R3 с некоторым
геометрическим свойством, называемым поверхностной одно-
связностью.
   Определение 2. Область G ⊂ R3 называется поверх-
ностно односвязной, если для любой замкнутой ломаной Λ ⊂
⊂ G существует удовлетворяющая условиям теоремы Стокса
и натянутая на Λ поверхность S ⊂ G.
   Пример 2. Область G ⊂ R3 называется выпуклой, если
вместе с любыми двумя своими точками она содержит и отре-
зок с концами в этих точках.
   Выпуклая область является поверхностно односвязной. В
самом деле, пусть замкнутая ломаная Λ ⊂ G. Покажем, что
на нее можно натянуть лежащую в области G поверхность S,
удовлетворяющую условиям теоремы Стокса. Пусть
                    Λ = {~ρ(u), 0 6 u 6 2π},
0 = u0 < u1 < . . . < uI = 2π, Ai = ρ̂(ui ) — последовательно за-
нумерованные ее вершины (Ai = A0 ). Выберем произвольную
точку B ⊂ G, не лежащую ни на одной прямой, соединяющей
точки Ai−1 и Ai (iS= 1, . . . , I). Рассмотрим кусочно гладкую
поверхность S = Ii=1 Si , гладкие куски Si которой являются
треугольниками с вершинами Ai−1 , Ai , B. Очевидно, что S и
является искомой поверхностью.
   Пример 3. Область G из примера 1 не является поверх-
ностно односвязной, т. к., например, на ломаную Λ, лежащую
в плоскости z = 0 и «охватывающую» ось Oz, нельзя натянуть
требуемую поверхность S, лежащую в области G, т. е. не пере-
секающую ось Oz. В качестве такой ломаной Λ можно взять,
например, ломаную, вписанную в окружность CR из примера 1,
в частности, равносторонний треугольник в плоскости z = 0 с
центром в точке (0, 0).
   Пример 4. Область, образованная вращением открытого
круга плоскости Oxz, не пересекающего оси Oz, вокруг оси Oz
и называемая тором, не является поверхностно односвязной.