Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации 115
Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом
Дирихле)замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка инте-
грирования, получим
S
n
(x; f ) =
1
π
π
Z
−π
D
n
(t)f(x + t) dt =
1
π
0
Z
−π
+
π
Z
0
D(t)f(x + t) dt =
=
1
π
π
Z
0
D
n
(t)[f(x + t) + f (x − t)] dt. (8)
При произвольном δ, 0 < δ < π, представим последний
интеграл в виде
S
n
(x; f ) =
1
π
δ
Z
0
+
π
Z
δ
f(x + t) + f (x − t)
2 sin
t
2
sin
n +
1
2
t
dt.
Во втором из этих интегралов знаменатель дроби
2 sin
t
2
> 2 sin
δ
2
> 0, поэтому сама дробь абсолютно ин-
тегрируема как функция t.
Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n →
→ ∞ по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким
образом, к следующему утверждению.
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть 2π-периоди-
ческая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π],
x
0
∈ R, 0 < δ < π. Пределы
lim
n→∞
S
n
(x
0
; f ),
lim
n→∞
1
π
Z
δ
0
f(x
0
+ t) + f (x
0
− t)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt
существуют или не существуют одновременно и совпадают в
случае их существования.
Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье
функции f в точке x
0
и величина его суммы в случае схо-
димости определяются поведением функции f на интервале
(x
0
−δ, x
0
+δ), т. е. в сколь угодно малой окрестности точки
x
0
.
    § 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации                    115

    Произведя в последнем интеграле (называемом интегралом
Дирихле)замену переменной t на t + x и сдвиг отрезка инте-
грирования, получим
               Zπ
                                         0 π
                                         Z Z
             1                        1
Sn (x; f ) =     Dn (t)f (x + t) dt =      +  D(t)f (x + t) dt =
             π                        π
            −π                                   −π     0
                                     Zπ
                                 1
                               =          Dn (t)[f (x + t) + f (x − t)] dt. (8)
                                 π
                                     0
   При произвольном δ, 0 < δ < π, представим последний
интеграл в виде
                  δ π
                                                      
                                         −
                  Z Z
               1      f (x + t) + f  (x   t)         1
  Sn (x; f ) =      +                        sin n +    t dt.
               π              2 sin 2t                2
                       0   δ
Во втором из этих интегралов знаменатель дроби
2 sin 2t > 2 sin 2δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно ин-
тегрируема как функция t.
    Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n →
→ ∞ по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким
образом, к следующему утверждению.
   Теорема 2 (принцип локализации). Пусть 2π-периоди-
ческая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π],
x0 ∈ R, 0 < δ < π. Пределы
                                lim Sn (x0 ; f ),
                                n→∞
                   δ                                               
                       f (x0 + t) + f (x0 − t)
               Z
           1                                                    1
       lim                                        sin        n+      t dt
      n→∞ π    0               2 sin 2t                         2
существуют или не существуют одновременно и совпадают в
случае их существования.
     Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье
функции f в точке x0 и величина его суммы в случае схо-
димости определяются поведением функции f на интервале
(x0 − δ, x0 + δ), т. е. в сколь угодно малой окрестности точки
x0 .

Страницы