Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

118 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
В теореме 1, замечании 1 и следствии 1 приводятся доста-
точные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Суще-
ствуют и значительно более общие достаточные условия такой
сходимости.
З а м е ч а н и е 3. Пусть функция f задана и аб-
солютно интегрируема на отрезке длиной 2π, например, на
[−π, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах
отрезка можно применить теорему 1, продолжив функцию f
(изменив при необходимости ее значения на одном или обоих
концах) до 2π-периодической функции. После такого продол-
жения точка x = −π будет почти регулярной тогда и только
тогда, когда ∃f
0
+
(−π), f
0
−
(π). В этом случае ряд Фурье функ-
ции f сходится в точке x
0
= −π к
f(−π + 0) + f(π − 0)
2
.
Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в
точке x
0
= π.
Пример 1. Найдем ряд Фурье функции f(x) =
π − x
2
, x ∈
∈ [0, 2π].
Пусть
˜
f: R → R — 2π-периодическая функция,
˜
f(x) = f(x)
при 0 < x < 2π,
˜
f(0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье
функции
˜
f можно вычислить по формулам (24.1.2) либо от-
личающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу
нечетности
˜
f, a
k
= 0 ∀k ∈ N
0
. Интегрируя по частям, полу-
чаем
b
k
=
1
π
Z
2π
0
π − x
2
sin kx dx =
= −
1
π
(π − x)
cos kx
x
2π
0
−
1
2πk
Z
2π
0
cos kx dx =
1
k
.
Заметим, что всякая точка x ∈ R является регулярной точ-
кой функции
˜
f. Следовательно,
˜
f(x) =
∞
X
k=1
sin kx
k
∀x ∈ R. (3)
118         Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   В теореме 1, замечании 1 и следствии 1 приводятся доста-
точные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Суще-
ствуют и значительно более общие достаточные условия такой
сходимости.
   З а м е ч а н и е 3. Пусть функция f задана и аб-
солютно интегрируема на отрезке длиной 2π, например, на
[−π, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах
отрезка можно применить теорему 1, продолжив функцию f
(изменив при необходимости ее значения на одном или обоих
концах) до 2π-периодической функции. После такого продол-
жения точка x = −π будет почти регулярной тогда и только
тогда, когда ∃ f+0 (−π), f−0 (π). В этом случае ряд Фурье функ-
                                      f (−π + 0) + f (π − 0)
ции f сходится в точке x0 = −π к                2            .
   Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в
точке x0 = π.
    Пример 1. Найдем ряд Фурье функции f (x) = π −    x
                                                    2 ,x∈
∈ [0, 2π].
    Пусть f˜: R → R — 2π-периодическая функция, f˜(x) = f (x)
при 0 < x < 2π, f˜(0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье
функции f˜ можно вычислить по формулам (24.1.2) либо от-
личающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу
нечетности f˜, ak = 0 ∀ k ∈ N0 . Интегрируя по частям, полу-
чаем

     1 2π π − x
      Z
bk =              sin kx dx =
     π 0      2
                             cos kx 2π
                                            Z 2π
                   1                      1                 1
              = − (π − x)              −         cos kx dx = .
                   π           x 0       2πk 0              k

   Заметим, что всякая точка x ∈ R является регулярной точ-
кой функции f˜. Следовательно,
                           ∞
                           X sin kx
                 f˜(x) =                ∀ x ∈ R.                 (3)
                                 k
                           k=1

Страницы