Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

134 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
При соответствующей переформулировке теоремы 24.2.2 и
теоремы 1 для функции f: [−π, π] → R следует считать вы-
полненным равенство f (−π) = f(π).
Наряду с теоремой 2 установим и другую теорему 2
0
, хотя
и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-
ференциальными свойствами 2π-периодической функции и ско-
ростью сходимости ее ряда Фурье.
Доказательство теоремы 2
0
в отличие от доказательства
теоремы 2 опирается не на анализ сходимости сопряженного с
рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя (1).
Читатель может по своему усмотрению ограничиться из-
учением одной из этих двух теорем.
Теорема 2
0
. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно непрерывную производную f
(m)
.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на
R и
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; f)| = o
1
n
m−
1
2
при n → ∞. (11)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функ-
ции f ее ряда Фурье установлена в теореме 24.2.2. Оценим
остаток ее ряда Фурье.
|r
n
(x; f)| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
6
6
∞
X
k=n+1
(|a
k
| + |b
k
|) 6
∞
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
1
k
m
,
где α
k
, β
k
— коэффициенты Фурье функции f
(m)
, а последнее
неравенство получено m-кратным применением теоремы 1. В
силу неравенства Коши–Шварца (10.1.2)
N
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
1
k
m
6
v
u
u
t
N
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
2
v
u
u
t
N
X
k=n+1
1
k
2m
.
134              Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   При соответствующей переформулировке теоремы 24.2.2 и
теоремы 1 для функции f : [−π, π] → R следует считать вы-
полненным равенство f (−π) = f (π).
   Наряду с теоремой 2 установим и другую теорему 20 , хотя
и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-
ференциальными свойствами 2π-периодической функции и ско-
ростью сходимости ее ряда Фурье.
   Доказательство теоремы 20 в отличие от доказательства
теоремы 2 опирается не на анализ сходимости сопряженного с
рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя (1).
   Читатель может по своему усмотрению ограничиться из-
учением одной из этих двух теорем.

   Теорема 20 . Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно непрерывную производную f (m) .
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на
Rи
                                        
                                     1
    max |f (x) − Sn (x; f )| = o       1   при n → ∞. (11)
    x∈R                            nm− 2
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функ-
ции f ее ряда Фурье установлена в теореме 24.2.2. Оценим
остаток ее ряда Фурье.
                  ∞
                  X
|rn (x; f )| =           ak cos kx + bk sin kx 6
                 k=n+1         ∞                           ∞
                               X                           X                         1
                          6           (|ak | + |bk |) 6           (|αk | + |βk |)      ,
                                                                                    km
                              k=n+1                       k=n+1

где αk , βk — коэффициенты Фурье функции f (m) , а последнее
неравенство получено m-кратным применением теоремы 1. В
силу неравенства Коши–Шварца (10.1.2)
                              v                    v
     N                        u N                  u N
    X                     1   u X
                                                 2
                                                   u X 1
          (|αk | + |βk |) m 6 t   (|αk | + |βk |) t         .
                         k                             k 2m
   k=n+1                                k=n+1                        k=n+1

Страницы