Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.5. Комплексная форма рядов Фурье 137
где
a
0
=
1
l
Z
l
−l
f(x) dx,
a
k
=
1
l
Z
l
−l
f(x) cos
kπx
l
dx, b
k
=
1
l
Z
l
−l
f(x) sin
kπx
l
dx,
который называется тригонометрическим рядом Фурье функ-
ции f периода 2l.
Подобным же образом переносится и вся теория тригономе-
трических рядов Фурье на случай 2l-периодических функций.
Вместо такого способа перенесения теории на случай 2l-
периодических функций можно было бы с самого начала рас-
смотреть ортогональную на [−l, l] систему тригонометриче-
ских функций
1, cos
π
l
x, sin
π
l
x, cos
2π
l
x, sin
2π
l
x, . . .
и на ее основе построить теорию тригонометрических рядов
Фурье, повторяющую все полученные при l = π результаты и
выкладки.
Оба указанных подхода приводят к одним и тем же резуль-
татам.
Для рядов Фурье существует комплексная форма записи.
Пусть
f(x) ∼
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx.
Заменим в членах этого ряда cos kx, sin kx, воспользовавшись
формулами Эйлера:
cos kx =
e
ikx
+ e
−ikx
2
, sin kx =
e
ikx
− e
−ikx
2
.
Получим
f(x) ∼
a
0
2
+
∞
X
k=1
1
2
(a
k
− b
k
i)e
ikx
+
1
2
(a
k
+ b
k
i)e
−ikx
.
                § 24.5. Комплексная форма рядов Фурье                                     137
где
                                           Z   l
                                       1
                                  a0 =             f (x) dx,
                                       l    −l
               Z   l                                        Z   l
           1                  kπx                       1                       kπx
      ak =          f (x) cos     dx,              bk =             f (x) sin       dx,
           l     −l            l                        l      −l                l
который называется тригонометрическим рядом Фурье функ-
ции f периода 2l.
   Подобным же образом переносится и вся теория тригономе-
трических рядов Фурье на случай 2l-периодических функций.
   Вместо такого способа перенесения теории на случай 2l-
периодических функций можно было бы с самого начала рас-
смотреть ортогональную на [−l, l] систему тригонометриче-
ских функций
              π        π       2π        2π
         1,     cos
                x, sin x, cos     x, sin    x, . . .
              l        l        l         l
и на ее основе построить теорию тригонометрических рядов
Фурье, повторяющую все полученные при l = π результаты и
выкладки.
   Оба указанных подхода приводят к одним и тем же резуль-
татам.
   Для рядов Фурье существует комплексная форма записи.
   Пусть
                                      ∞
                                 a0 X
                       f (x) ∼     +  ak cos kx + bk sin kx.
                                 2
                                     k=1

Заменим в членах этого ряда cos kx, sin kx, воспользовавшись
формулами Эйлера:
                           eikx + e−ikx                         eikx − e−ikx
              cos kx =                  ,          sin kx =                  .
                                 2                                    2
      Получим
                   ∞                                    
               a0 X 1                ikx 1          −ikx
       f (x) ∼   +       (ak − bk i)e + (ak + bk i)e       .
               2       2                 2
                          k=1

Страницы