Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

142 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
или
kxk
1
=
n
X
i=1
|x
i
|,
или
kxk
∞
= max
16i6n
|x
i
|.
Говоря о линейных пространствах функций, определенных
на E ⊂ R
n
, всегда будем предполагать, что операции сложения
и умножения на число введены в них естественным образом,
т. е.
(x + y)(t) B x(t) + y(t) ∀t ∈ E,
(λx)(t) B λx(t) ∀t ∈ E.
Пример 3. C([a, b]) — линейное пространство непрерыв-
ных на отрезке [a, b] функций с нормой
kxk = kxk
C([a,b])
B max
a6t6b
|x(t)|.
Все свойства нормы в примерах 1–3 проверяются элемен-
тарно.
Изучим некоторые понятия и свойства нормированных про-
странств, связанные с понятием расстояния и обобщающие из-
вестные понятия и свойства числовых последовательностей и
множеств. До конца параграфа символом R будем обозначать
нормированное пространство.
При x
0
∈ R ε-окрестностью точки x
0
в нормированном
пространстве R называется множество
U
ε
(x
0
) B {x : x ∈ R, kx − x
0
k < ε}.
Точка x
0
называется центром этой окрестности, а ε — ее
радиусом.
Множество E ⊂ R называется ограниченным, если
∃M: E ⊂ U
M
(
~
0).
Точка a ∈ R называется предельной точкой множества E ⊂
⊂ R, если любая ε-окрестность точки a содержит бесконечно
много точек множества E.
Предельная точка множества E может принадлежать, а мо-
жет и не принадлежать множеству E.
142 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
или
                                 n
                                 X
                        kxk1 =         |xi |,
                                 i=1
или
                      kxk∞ = max |xi |.
                                 16i6n
    Говоря о линейных пространствах функций, определенных
на E ⊂ Rn , всегда будем предполагать, что операции сложения
и умножения на число введены в них естественным образом,
т. е.
                (x + y)(t) B x(t) + y(t) ∀ t ∈ E,
                   (λx)(t) B λx(t) ∀ t ∈ E.
   Пример 3. C([a, b]) — линейное пространство непрерыв-
ных на отрезке [a, b] функций с нормой
                kxk = kxkC([a,b]) B max |x(t)|.
                                       a6t6b

   Все свойства нормы в примерах 1–3 проверяются элемен-
тарно.
   Изучим некоторые понятия и свойства нормированных про-
странств, связанные с понятием расстояния и обобщающие из-
вестные понятия и свойства числовых последовательностей и
множеств. До конца параграфа символом R будем обозначать
нормированное пространство.
   При x0 ∈ R ε-окрестностью точки x0 в нормированном
пространстве R называется множество
            Uε (x0 ) B {x : x ∈ R,       kx − x0 k < ε}.
   Точка x0 называется центром этой окрестности, а ε — ее
радиусом.
   Множество E ⊂ R называется ограниченным, если
∃ M : E ⊂ UM (~0).
   Точка a ∈ R называется предельной точкой множества E ⊂
⊂ R, если любая ε-окрестность точки a содержит бесконечно
много точек множества E.
   Предельная точка множества E может принадлежать, а мо-
жет и не принадлежать множеству E.

Страницы