Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.1. Метрические и нормированные пространства 145
1.
◦
R является подпространством R
∗
, т. е. R ⊂ R
∗
и опреде-
ления суммы, произведения элемента на число и нормы
в пространствах R и R
∗
совпадают для элементов из R;
2.
◦
R = R
∗
, т. е. R плотно в R
∗
.
Теорема 1. Каждое нормированное пространство имеет
пополнение.
Не приводя доказательства, укажем лишь идею, с помо-
щью которой его можно осуществить. Сделаем это на при-
мере метрического пространства R, представляющего собой
множество всех рациональных чисел с естественным расстоя-
нием ρ(x, y) = |x − y|.
Задача состоит прежде всего в том, чтобы «экономно» при-
соединить к R некоторые новые («идеальные») элементы и рас-
пространить на полученное расширенное множество понятие
расстояния. Рассмотрим всевозможные фундаментальные по-
следовательности {x
k
}
∞
k=1
рациональных чисел, не являющи-
еся сходящимися в R. Расстоянием между двумя такими по-
следовательностями назовем
ρ({x
k
}, {y
k
}) B lim
k→∞
|x
k
− y
k
|.
Этот предел существует в силу фундаментальности числовой
последовательности {|x
k
− y
k
|}
∞
k=1
и полноты R.
Расстоянием между такой последовательностью и рацио-
нальным числом x
0
назовем
ρ({x
k
}, x
0
) = lim
k→∞
|x
k
− x
0
|.
Две не сходящиеся в R фундаментальные последовательно-
сти {x
k
}, {y
k
} назовем эквивалентными, если ρ({x
k
}, {y
k
}) =
= 0. Все фундаментальные последовательности рациональ-
ных чисел, не сходящиеся в R, разбиваются на классы эквива-
лентных последовательностей. Каждый такой класс назовем
«идеальным» элементом. Расстояние между двумя «идеаль-
ными» элементами введем как расстояние между какими-либо
двумя представителями соответствующих классов эквивалент-
     § 25.1. Метрические и нормированные пространства      145

   1.◦ R является подпространством R∗ , т. е. R ⊂ R∗ и опреде-
       ления суммы, произведения элемента на число и нормы
       в пространствах R и R∗ совпадают для элементов из R;
   2. R = R∗ , т. е. R плотно в R∗ .
     ◦


   Теорема 1. Каждое нормированное пространство имеет
пополнение.
   Не приводя доказательства, укажем лишь идею, с помо-
щью которой его можно осуществить. Сделаем это на при-
мере метрического пространства R, представляющего собой
множество всех рациональных чисел с естественным расстоя-
нием ρ(x, y) = |x − y|.
   Задача состоит прежде всего в том, чтобы «экономно» при-
соединить к R некоторые новые («идеальные») элементы и рас-
пространить на полученное расширенное множество понятие
расстояния. Рассмотрим всевозможные фундаментальные по-
следовательности {xk }∞ k=1 рациональных чисел, не являющи-
еся сходящимися в R. Расстоянием между двумя такими по-
следовательностями назовем
                ρ({xk }, {yk }) B lim |xk − yk |.
                                 k→∞

Этот предел существует в силу фундаментальности числовой
последовательности {|xk − yk |}∞
                               k=1 и полноты R.
   Расстоянием между такой последовательностью и рацио-
нальным числом x0 назовем
                 ρ({xk }, x0 ) = lim |xk − x0 |.
                                k→∞

   Две не сходящиеся в R фундаментальные последовательно-
сти {xk }, {yk } назовем эквивалентными, если ρ({xk }, {yk }) =
= 0. Все фундаментальные последовательности рациональ-
ных чисел, не сходящиеся в R, разбиваются на классы эквива-
лентных последовательностей. Каждый такой класс назовем
«идеальным» элементом. Расстояние между двумя «идеаль-
ными» элементами введем как расстояние между какими-либо
двумя представителями соответствующих классов эквивалент-

Страницы