Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.2. Пространства CL
1
, CL
2
, RL
1
, RL
2
, L
1
, L
2
147
Пример 2. CL
2
([a, b]) — линейное пространство непре-
рывных на отрезке [a, b] функций с нормой
kxk = kxk
L
2
([a,b])
=
s
Z
b
a
|x(t)|
2
dt.
Все свойства нормы в примерах 1, 2 проверяются элемен-
тарно, за исключением неравенства треугольника в примере 2.
Последнее будет выведено позднее из свойств скалярного про-
изведения.
Определение 1. Пусть (a, b) ⊂ (−∞, ∞). Функция f :
(a, b) → R называется финитной на (a, b), если f = 0 вне неко-
торого отрезка [α, β] ⊂ (a, b).
Пример 3. C
0
L
p
((a, b)), p ∈ {1, 2}, — линейное простран-
ство непрерывных и финитных на (a, b) функций с нормой
kxk = kxk
L
p
((a,b))
=
Z
b
a
|x(t)|
p
dt
1
p
.
Пример 4. RL((a, b)) = RL
1
((a, b)) — полунормиро-
ванное пространство абсолютно интегрируемых на интервале
(a, b) ⊂ (−∞, ∞) функций x: (a, b) → R, т. е. функций со сходя-
щимся интегралом
R
b
a
|x(t)|dt, понимаемым как несобственный
с конечным числом особенностей, и интегрируемых по Риману
на каждом отрезке из (a, b), не содержащем особенностей (см.
определение 14.8.2). При этом
kxk = kxk
L
1
((a,b))
B
Z
b
a
|x(t)|dt. (1)
Эта полунорма не является нормой на линейном простран-
стве RL
1
((a, b)), т. к. из равенства kθk =
R
b
a
|θ(t)|dt = 0 не
следует, что θ ≡ 0 (а ведь именно тождественно равная нулю
функция является нулевым элементом рассматриваемого ли-
нейного пространства). В самом деле, равенство kθk = 0 вы-
полняется, например, и для функции θ, принимающей нулевые
значения всюду на (a, b), за исключением конечного числа то-
чек, в которых она отлична от нуля.
       § 25.2. Пространства CL1 , CL2 , RL1 , RL2 , L1 , L2   147

   Пример 2. CL2 ([a, b]) — линейное пространство непре-
рывных на отрезке [a, b] функций с нормой
                                  s
                                    Z b
            kxk = kxkL2 ([a,b]) =       |x(t)|2 dt.
                                           a

   Все свойства нормы в примерах 1, 2 проверяются элемен-
тарно, за исключением неравенства треугольника в примере 2.
Последнее будет выведено позднее из свойств скалярного про-
изведения.
    Определение 1. Пусть (a, b) ⊂ (−∞, ∞). Функция f :
(a, b) → R называется финитной на (a, b), если f = 0 вне неко-
торого отрезка [α, β] ⊂ (a, b).
    Пример 3. C0 Lp ((a, b)), p ∈ {1, 2}, — линейное простран-
ство непрерывных и финитных на (a, b) функций с нормой
                                   Z b            p1
                                              p
             kxk = kxkLp ((a,b)) =      |x(t)| dt      .
                                       a

    Пример 4.       RL((a, b)) = RL1 ((a, b)) — полунормиро-
ванное пространство абсолютно интегрируемых на интервале
(a, b) ⊂ (−∞, ∞) функций x: (a, b) → R, т. е. функций со сходя-
                   Rb
щимся интегралом a |x(t)| dt, понимаемым как несобственный
с конечным числом особенностей, и интегрируемых по Риману
на каждом отрезке из (a, b), не содержащем особенностей (см.
определение 14.8.2). При этом
                                     Z b
               kxk = kxkL1 ((a,b)) B     |x(t)| dt.         (1)
                                           a
   Эта полунорма не является нормой на линейном
                                            Rb       простран-
стве RL1 ((a, b)), т. к. из равенства kθk = a |θ(t)| dt = 0 не
следует, что θ ≡ 0 (а ведь именно тождественно равная нулю
функция является нулевым элементом рассматриваемого ли-
нейного пространства). В самом деле, равенство kθk = 0 вы-
полняется, например, и для функции θ, принимающей нулевые
значения всюду на (a, b), за исключением конечного числа то-
чек, в которых она отлична от нуля.

Страницы