Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

150 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
странства CL
1
([−1, 1]). Рассмотрим последовательность не-
прерывных на [−1, 1] функций
f
k
(t) =
0 при −1 6 t 6 0,
kt при 0 6 t 6
1
k
,
1 при
1
k
6 t 6 1.
Последовательность {f
k
}
∞
k=1
является фундаментальной в
CL
1
([−1, 1]), т. к.
kf
m
− f
k
k
L
1
([−1,1])
6
Z
max
{
1
m
,
1
k
}
0
2 dt = 2 max
1
m
,
1
k
.
Однако не существует функции из CL
1
([−1, 1]), явля-
ющейся пределом этой последовательности по норме
CL
1
([−1, 1]). В самом деле, предполагая противное, обо-
значим предельную функцию через ϕ. Она непрерывна на
[−1, 1] как функция из CL([−1, 1]), и
Z
1
−1
|ϕ(t) − f
k
(t)|dt → 0 (k → ∞).
Но тогда при k → ∞
Z
0
−1
|ϕ(t) − f
k
(t)|dt =
Z
0
−1
|ϕ(t)|dt → 0,
так что
Z
0
−1
|ϕ(t)|dt = 0 ⇒ ϕ(t) = 0 при − 1 6 t 6 0.
Аналогично устанавливается, что
ϕ(t) = 1 при 0 < δ 6 t 6 1 ∀δ ∈ (0, 1).
Как видим, функция ϕ разрывна в точке t = 0, что про-
тиворечит предположению о существовании в CL([−1, 1]) пре-
дела последовательности {f
k
}
∞
k=1
. Следовательно, простран-
ство CL
1
([a, b]) не полно.
Лемма 1. Множество C
0
((a, b)) непрерывных и финитных
на (a, b) функций плотно как в RL
1
((a, b)), так и в RL
2
((a, b)).
150 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

странства CL1 ([−1, 1]). Рассмотрим последовательность не-
прерывных на [−1, 1] функций
                        
                        0 при −1 6 t 6 0,
                        
                        
                                        1
                fk (t) = kt при 0 6 t 6 k ,
                        1 при 1 6 t 6 1.
                        
                        
                                           k
Последовательность         {fk }∞
                                k=1    является фундаментальной в
CL1 ([−1, 1]), т. к.
                               Z   max{ m ,k}
                                        1 1                               
                                                                     1 1
    kfm − fk kL1 ([−1,1]) 6                     2 dt = 2 max          ,        .
                               0                                     m k
   Однако не существует функции из CL1 ([−1, 1]), явля-
ющейся пределом этой последовательности по норме
CL1 ([−1, 1]). В самом деле, предполагая противное, обо-
значим предельную функцию через ϕ. Она непрерывна на
[−1, 1] как функция из CL([−1, 1]), и
               Z 1
                   |ϕ(t) − fk (t)| dt → 0 (k → ∞).
                   −1
   Но тогда при k → ∞
           Z 0                      Z           0
               |ϕ(t) − fk (t)| dt =                 |ϕ(t)| dt → 0,
                 −1                         −1
так что
       Z   0
               |ϕ(t)| dt = 0   ⇒      ϕ(t) = 0 при − 1 6 t 6 0.
        −1
   Аналогично устанавливается, что
           ϕ(t) = 1      при       0 < δ 6 t 6 1 ∀ δ ∈ (0, 1).
   Как видим, функция ϕ разрывна в точке t = 0, что про-
тиворечит предположению о существовании в CL([−1, 1]) пре-
дела последовательности {fk }∞
                             k=1 . Следовательно, простран-
ство CL1 ([a, b]) не полно.
   Лемма 1. Множество C0 ((a, b)) непрерывных и финитных
на (a, b) функций плотно как в RL1 ((a, b)), так и в RL2 ((a, b)).

Страницы