Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

152 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Очевидно, что последовательность {f
k
}
∞
k=1
фундамен-
тальна в RL
1
((0, 1)). Можно показать, что она не имеет пре-
дела в RL
1
((0, 1)).
Упражнение 1. Показать, что в пространствах
RL
1
((a, b)), RL
2
((a, b)) счетное множество финитных ступен-
чатых функций с рациональными параметрами (начало и ко-
нец ступени, высота ступени) является плотным.
У к а з а н и е. Использовать теорему 14.8.3.
Для описания пополнений пространств RL
1
((a, b)),
RL
2
((a, b)) придется ввести понятия меры и интеграла
Лебега. Мы лишь коснемся этих понятий, избегая точных
определений. Понятие измеримости множества по Лебегу
шире понятия измеримости по Жордану: всякое множество,
измеримое по Жордану, является измеримым по Лебегу и его
мера Лебега совпадает с мерой Жордана.
Множество всех рациональных точек отрезка [0, 1] изме-
римо по Лебегу (и имеет лебегову меру нуль), но не измеримо
по Жордану.
Рассмотрим для примера определенную на отрезке [a, b]
функцию f со значениями, лежащими на отрезке [A, B]. Эту
функцию будем считать измеримой, т. е. такой, что множество
{x ∈ [a, b]: f (x) 6 α} измеримо по Лебегу при ∀α ∈ R.
Поделим отрезок [A, B] на k равных частей точками A =
= y
0
< y
1
< . . . < y
k
= B и составим интегральную сумму
k
X
j=1
y
k
mes e
k
, e
k
= {x : 0 6 x 6 1, y
k−1
< f(x) 6 y
k
}, (3)
где mes e
k
— мера Лебега.
Тогда
lim
k→∞
k
X
j=1
y
k
mes e
k
называется интегралом Лебега функции f по отрезку [a, b].
Как видим, при построении интегральной суммы (3) в каче-
стве «представителя» функции f на множестве e
k
выступает
152 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   Очевидно, что последовательность {fk }∞     k=1 фундамен-
тальна в RL1 ((0, 1)). Можно показать, что она не имеет пре-
дела в RL1 ((0, 1)).
   Упражнение 1.              Показать, что в пространствах
RL1 ((a, b)), RL2 ((a, b)) счетное множество финитных ступен-
чатых функций с рациональными параметрами (начало и ко-
нец ступени, высота ступени) является плотным.
   У к а з а н и е. Использовать теорему 14.8.3.
   Для описания пополнений пространств RL1 ((a, b)),
RL2 ((a, b)) придется ввести понятия меры и интеграла
Лебега. Мы лишь коснемся этих понятий, избегая точных
определений. Понятие измеримости множества по Лебегу
шире понятия измеримости по Жордану: всякое множество,
измеримое по Жордану, является измеримым по Лебегу и его
мера Лебега совпадает с мерой Жордана.
   Множество всех рациональных точек отрезка [0, 1] изме-
римо по Лебегу (и имеет лебегову меру нуль), но не измеримо
по Жордану.
   Рассмотрим для примера определенную на отрезке [a, b]
функцию f со значениями, лежащими на отрезке [A, B]. Эту
функцию будем считать измеримой, т. е. такой, что множество
{x ∈ [a, b]: f (x) 6 α} измеримо по Лебегу при ∀ α ∈ R.
   Поделим отрезок [A, B] на k равных частей точками A =
= y0 < y1 < . . . < yk = B и составим интегральную сумму
  k
  X
        yk mes ek ,   ek = {x : 0 6 x 6 1, yk−1 < f (x) 6 yk },   (3)
  j=1

где mes ek — мера Лебега.
   Тогда
                                 k
                                 X
                           lim         yk mes ek
                           k→∞
                                 j=1
называется интегралом Лебега функции f по отрезку [a, b].
   Как видим, при построении интегральной суммы (3) в каче-
стве «представителя» функции f на множестве ek выступает

Страницы