Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

154 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
странство L
2
((a, b)) является полным и что RL
2
((a, b)), а зна-
чит (в силу леммы 1), и C
0
L
2
((a, b)) плотны в нем. Согласно
определению пополнения, пространство L
2
((a, b)) является по-
полнением как пространства RL
2
((a, b)), так и пространства
C
0
L
2
((a, b)).
З а м е ч а н и е 2. В случае конечных a, b вместо
L
p
((a, b)) можно писать L
p
([a, b]), p = 1, 2.
З а м е ч а н и е 3. Часто, допуская некоторую воль-
ность, пространства L
1
((a, b)), L
2
((a, b)) называют нормиро-
ванными пространствами функций, в которых отождествлены
функции, отличающиеся между собой лишь на множестве ле-
беговой меры нуль.
Придерживаясь точных формулировок, следовало бы гово-
рить о нормированных пространствах
˜
L
1
((a, b)) и
˜
L
2
((a, b)) ,
элементами которых являются классы эквивалентных (т. е. от-
личающихся на множестве лебеговой меры нуль) функций с
соответственно введенными операциями сложения и умноже-
ния на число и нормой (ср. пространства
g
RL
1
,
g
RL
2
из приме-
ров 5, 6).
§ 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства
Определение 1. Скалярным произведением в действи-
тельном линейном пространстве R называется вещественная
функция (x, y), определенная для каждой пары элементов x, y ∈
∈ R и удовлетворяющая условиям:
1.
◦
(x, y) = (y, x),
2.
◦
(x
1
+ x
2
, y) = (x
1
, y) + (x
2
, y),
3.
◦
(λx, y) = λ(x, y) ∀λ ∈ R,
4.
◦
(x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x =
~
0.
Определение 2. Действительное линейное пространство
с фиксированным скалярным произведением называется евкли-
довым пространством.
В евклидовом пространстве вводится норма формулой
kxk =
p
(x, x). (1)
154 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

странство L2 ((a, b)) является полным и что RL2 ((a, b)), а зна-
чит (в силу леммы 1), и C0 L2 ((a, b)) плотны в нем. Согласно
определению пополнения, пространство L2 ((a, b)) является по-
полнением как пространства RL2 ((a, b)), так и пространства
C0 L2 ((a, b)).
    З а м е ч а н и е 2. В случае конечных a, b вместо
Lp ((a, b)) можно писать Lp ([a, b]), p = 1, 2.
    З а м е ч а н и е 3. Часто, допуская некоторую воль-
ность, пространства L1 ((a, b)), L2 ((a, b)) называют нормиро-
ванными пространствами функций, в которых отождествлены
функции, отличающиеся между собой лишь на множестве ле-
беговой меры нуль.
    Придерживаясь точных формулировок, следовало бы гово-
рить о нормированных пространствах L̃1 ((a, b)) и L̃2 ((a, b)) ,
элементами которых являются классы эквивалентных (т. е. от-
личающихся на множестве лебеговой меры нуль) функций с
соответственно введенными операциями сложения и умноже-
ния на число и нормой (ср. пространства RL      g1 , RL
                                                     g2 из приме-
ров 5, 6).

  § 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства
   Определение 1. Скалярным произведением в действи-
тельном линейном пространстве R называется вещественная
функция (x, y), определенная для каждой пары элементов x, y ∈
∈ R и удовлетворяющая условиям:
   1.◦ (x, y) = (y, x),
   2.◦ (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y),
   3.◦ (λx, y) = λ(x, y) ∀ λ ∈ R,
   4.◦ (x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x = ~0.
   Определение 2. Действительное линейное пространство
с фиксированным скалярным произведением называется евкли-
довым пространством.
   В евклидовом пространстве вводится норма формулой
                           p
                      kxk = (x, x).                   (1)

Страницы