Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

156 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Пример 3. RL
2
((a, b)) — линейное пространство из при-
мера 25.2.5. Введем
(f, g) B
Z
b
a
f(t)g(t) dt, f, g ∈ RL
2
((a, b)).
Для вещественной функции (f, g) выполняются все свой-
ства скалярного произведения, за исключением свойства
(f, f) = 0 ⇒ f =
~
0 (т. е. f(t) ≡ 0). Такую функцию (f, g)
называют полускалярным произведением. Полунорма опреде-
ляется как
kfk
L
2
((a,b))
=
p
(f, f).
З а м е ч а н и е 1. В евклидовом пространстве
для нормы, определенной равенством (1), выполняется, как не-
трудно проверить, равенство
kx + yk
2
+ kx − yk
2
= 2(kxk
2
+ kyk
2
), (3)
выражающее свойство: сумма квадратов длин диагоналей па-
раллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
Упражнение 1. Убедиться с помощью (3), что нормы в
пространствах C([a, b]), CL
1
([a, b]) из примеров 25.1.3, 25.2.1
нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного
произведения.
Наряду с действительным е вклидовым пространством рас-
сматривают и комплексное линейное пространство со ска-
лярным произведением (комплексное евклидово пространство).
При этом скалярным произведением называется комплексная
функция (x, y) с условиями
1.
◦
(x, y) = (y, x),
2.
◦
(x
1
+ x
2
, y) = (x
1
, y) + (x
2
, y),
3.
◦
(λx, y) = λ(y, x) ∀λ ∈ C,
4.
◦
(x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x =
~
0.
Норма в комплексном евклидовом пространстве определя-
ется, как и в действительном, формулой (1).
Приведем примеры комплексных евклидовых пространств.
Пример 4. C
n
— линейное пространство, представляю-
щее собой совокупность систем x = (x
1
, . . . , x
n
) n комплекс-
ных чисел со сложением и умножением на комплексное число,
156 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   Пример 3. RL2 ((a, b)) — линейное пространство из при-
мера 25.2.5. Введем
                    Z b
           (f, g) B     f (t)g(t) dt, f, g ∈ RL2 ((a, b)).
                    a
    Для вещественной функции (f, g) выполняются все свой-
ства скалярного произведения, за исключением свойства
(f, f ) = 0 ⇒ f = ~0 (т. е. f (t) ≡ 0). Такую функцию (f, g)
называют полускалярным произведением. Полунорма опреде-
ляется как                          p
                    kf kL2 ((a,b)) = (f, f ).
    З а м е ч а н и е 1. В евклидовом пространстве
для нормы, определенной равенством (1), выполняется, как не-
трудно проверить, равенство
             kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ),          (3)
выражающее свойство: сумма квадратов длин диагоналей па-
раллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
   Упражнение 1. Убедиться с помощью (3), что нормы в
пространствах C([a, b]), CL1 ([a, b]) из примеров 25.1.3, 25.2.1
нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного
произведения.
   Наряду с действительным евклидовым пространством рас-
сматривают и комплексное линейное пространство со ска-
лярным произведением (комплексное евклидово пространство).
При этом скалярным произведением называется комплексная
функция (x, y) с условиями
    1.◦ (x, y) = (y, x),
    2.◦ (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y),
    3.◦ (λx, y) = λ(y, x) ∀ λ ∈ C,
    4.◦ (x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x = ~0.
   Норма в комплексном евклидовом пространстве определя-
ется, как и в действительном, формулой (1).
   Приведем примеры комплексных евклидовых пространств.
   Пример 4. Cn — линейное пространство, представляю-
щее собой совокупность систем x = (x1 , . . . , xn ) n комплекс-
ных чисел со сложением и умножением на комплексное число,

Страницы