Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства 157
определенными по тем же правилам, что и для R
n
, и с каляр-
ным произведением
(x, y) =
n
X
i=1
x
i
y
i
.
Пример 5. Комплексное пространство CL
2
([a, b]) — ком-
плексное линейное пространство комплекснозначных непре-
рывных функций на отрезке [a, b] со скалярным произведением
(f, g) =
Z
b
a
f(t)g(t) dt.
Определение 3. Бесконечномерное евклидово простран-
ство называется предгильбертовым.
Полное бесконечномерное евклидово пространство (т. е.
полное предгильбертово пространство) называется гильберто-
вым.
Всякое предгильбертово пространство, будучи пополнен-
ным по его норме, превращается в гильбертово, если скалярное
произведение распространить на это пополнение по непрерыв-
ности. В связи с этим важна следующая
Лемма 1. Скалярное произведение (x, y) в предгильберто-
вом пространстве непрерывно зависит от x, y.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть kx
0
−xk < δ < 1, ky
0
−yk <
< δ < 1. Тогда с помощью неравенства Коши–Буняковско-
го (2) имеем
|(x
0
, y
0
) − (x, y)| 6 |(x
0
− x, y
0
)| + |(x, y
0
− y)| 6
6 kx − x
0
k · ky
0
k + kxkky
0
− yk 6
6 δky
0
k + (kx
0
k + δ)δ 6 δ(kx
0
k + ky
0
k + 1).
Следствие 1. Пусть R — предгильб ертово пространство,
x
k
, x, a ∈ R. Тогда
1.
◦
при k → ∞ x
k
→ x ⇒ (x
k
, a) → (x, a),
2.
◦
∞
P
j=1
x
j
= x ⇒
∞
P
j=1
(x
j
, a) = (x, a).
         § 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства              157

определенными по тем же правилам, что и для Rn , и скаляр-
ным произведением
                              n
                              X
                     (x, y) =   xi yi .
                                        i=1

   Пример 5. Комплексное пространство CL2 ([a, b]) — ком-
плексное линейное пространство комплекснозначных непре-
рывных функций на отрезке [a, b] со скалярным произведением
                           Z b
                  (f, g) =     f (t)g(t) dt.
                                    a

   Определение 3. Бесконечномерное евклидово простран-
ство называется предгильбертовым.
   Полное бесконечномерное евклидово пространство (т. е.
полное предгильбертово пространство) называется гильберто-
вым.
   Всякое предгильбертово пространство, будучи пополнен-
ным по его норме, превращается в гильбертово, если скалярное
произведение распространить на это пополнение по непрерыв-
ности. В связи с этим важна следующая
   Лемма 1. Скалярное произведение (x, y) в предгильберто-
вом пространстве непрерывно зависит от x, y.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть kx0 − xk < δ < 1, ky0 − yk <
< δ < 1. Тогда с помощью неравенства Коши–Буняковско-
го (2) имеем
|(x0 , y0 ) − (x, y)| 6 |(x0 − x, y0 )| + |(x, y0 − y)| 6
                 6 kx − x0 k · ky0 k + kxk ky0 − yk 6
                        6 δky0 k + (kx0 k + δ)δ 6 δ(kx0 k + ky0 k + 1).

     Следствие 1. Пусть R — предгильбертово пространство,
xk , x, a ∈ R. Тогда
     1.◦ при k → ∞ xk → x ⇒ (xk , a) → (x, a),
          ∞          ∞
     2.◦
         P           P
            xj = x ⇒   (xj , a) = (x, a).
        j=1             j=1

Страницы