Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 159
§ 25.4. Ортогональные системы
и ряды Фурье по ним
В этом параграфе R будет обозначать предгильбертово
пространство.
Определение 1. Элементы x, y ∈ R называют ортого-
нальными (друг другу), если (x, y) = 0.
Последовательность ненулевых элементов {e
j
}
∞
j=1
про-
странства R называют ортогональной системой или орто-
гональной последовательностью, если
(e
j
, e
k
) = 0 ∀j, k ∈ N, j 6= k.
Если при этом ke
j
k = 1 ∀j ∈ N, то ортогональная система
(последовате льность) называется ортонормированной.
Если каждый элемент ортогональной системы поделить на
его норму, получим ортонормированную систему. Если {e
j
}
∞
j=1
— ортогональная система, то ke
j
k > 0 ∀j (согласно определе-
нию), и при любом k ∈ N векторы {e
j
}
k
j=1
линейно независимы.
Установим последнее. Допустив противное, имеем при не-
котором k ∈ N и при некоторых λ
j
∈ R, не всех равных нулю,
k
X
j=1
λ
j
e
j
=
~
0.
Если при этом λ
s
6= 0, то, умножая последнее равенство
скалярно на e
s
и пользуясь ортогональностью, получаем, что
λ
s
ke
s
k
2
= 0. Отсюда e
s
=
~
0, что противоречит принадлежно-
сти e
s
ортогональной последовательности.
Приведем примеры ортогональных систем.
Пример 1. Последовательность
1
2
, cos x, sin x, cos 2x,
sin 2x, . . . ортогональна относительно скалярного произведе-
ния
(f, g) =
Z
π
−π
f(x)g(x) dx.
     § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним    159

           § 25.4. Ортогональные системы
                 и ряды Фурье по ним
   В этом параграфе R будет обозначать предгильбертово
пространство.

   Определение 1. Элементы x, y ∈ R называют ортого-
нальными (друг другу), если (x, y) = 0.
   Последовательность ненулевых элементов {ej }∞
                                               j=1 про-
странства R называют ортогональной системой или орто-
гональной последовательностью, если

               (ej , ek ) = 0    ∀ j, k ∈ N,   j 6= k.

    Если при этом kej k = 1 ∀ j ∈ N, то ортогональная система
(последовательность) называется ортонормированной.
    Если каждый элемент ортогональной системы поделить на
его норму, получим ортонормированную систему. Если {ej }∞ j=1
— ортогональная система, то kej k > 0 ∀ j (согласно определе-
нию), и при любом k ∈ N векторы {ej }kj=1 линейно независимы.
    Установим последнее. Допустив противное, имеем при не-
котором k ∈ N и при некоторых λj ∈ R, не всех равных нулю,
                           k
                           X
                                 λj ej = ~0.
                           j=1

    Если при этом λs 6= 0, то, умножая последнее равенство
скалярно на es и пользуясь ортогональностью, получаем, что
λs kes k2 = 0. Отсюда es = ~0, что противоречит принадлежно-
сти es ортогональной последовательности.
    Приведем примеры ортогональных систем.
    Пример 1. Последовательность 21 , cos x, sin x, cos 2x,
sin 2x, . . . ортогональна относительно скалярного произведе-
ния                           Z π
                     (f, g) =     f (x)g(x) dx.
                                 −π

Страницы