Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 161
= (−1)
n−1
(2n − 1)!!
(2n)!!
Z
1
−1
((x
2
− 1)
n
)
0
x dx =
= (−1)
n−1
(2n − 1)!!
(2n − 2)!!
Z
1
−1
(x
2
− 1)
n−1
x
2
dx =
= (−1)
n−1
(2n − 1)!!
(2n − 4)!!3
Z
1
−1
(x
2
−1)
n−2
x
4
dx = . . . =
Z
1
−1
x
2n
dx
2
2n + 1
.
Следовательно, kP
n
k =
q
2
2n + 1
.
Далее через R обозначаем предгильбертово пространство,
через kxk =
p
(x, x) — норму его элемента x, через {e
j
}
∞
j=1
—
ортогональную последовательность в нем. Напомним, что по
определению ke
j
k > 0 ∀j ∈ N.
Теорема 1. Пусть x ∈ R, x =
∞
P
k=1
α
k
e
k
. Тогда
α
k
=
(x, e
k
)
ke
k
k
2
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы скалярное произве-
дение суммы сходящегося в R ряда можно производить по-
членно. Используя свойство ортогональности, имеем
(x, e
s
) =
∞
X
k=1
α
k
(e
k
, e
s
) = α
s
(e
s
, e
s
),
откуда и следует (2).
Определение 2. Пусть x ∈ R, {e
k
}
∞
k=1
— ортогональная
последовательность в R. Тогда α
k
=
(x, e
k
)
ke
k
k
2
называются коэ ф-
фициентами Фурье элемента x по системе {e
k
}
∞
k=1
, ряд
∞
P
k=1
α
k
e
k
— рядом Фурье элемента x по системе {e
k
}
∞
k=1
, S
n
= S
n
(x) =
=
n
P
k=1
α
k
e
k
— n-й суммой Фурье элемента x по системе {e
k
}
∞
k=1
.
     § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним                      161
                                            1
                        (2n − 1)!!
                                        Z
           = (−1)n−1                            ((x2 − 1)n )0 x dx =
                          (2n)!!         −1
                                Z 1
                n−1 (2n − 1)!!
         = (−1)                     (x2 − 1)n−1 x2 dx =
                     (2n − 2)!! −1
                     Z 1                         Z 1
      n−1 (2n − 1)!!     2     n−2 4                       2
= (−1)                 (x −1)      x dx = . . . = x2n dx        .
         (2n − 4)!!3 −1                           −1     2n + 1
                                  q
   Следовательно, kPn k =               2
                                      2n + 1 .
           p R обозначаем предгильбертово пространство,
   Далее через
через kxk = (x, x) — норму его элемента x, через {ej }∞
                                                      j=1 —
ортогональную последовательность в нем. Напомним, что по
определению kej k > 0 ∀ j ∈ N.

                                                ∞
                                                P
   Теорема 1. Пусть x ∈ R, x =                        αk ek . Тогда
                                                k=1

                                       (x, ek )
                             αk =               .                           (2)
                                       kek k2

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы скалярное произве-
дение суммы сходящегося в R ряда можно производить по-
членно. Используя свойство ортогональности, имеем
                            ∞
                            X
               (x, es ) =         αk (ek , es ) = αs (es , es ),
                            k=1

откуда и следует (2).

   Определение 2. Пусть x ∈ R, {ek }∞
                                    k=1 — ортогональная
                                                      (x, ek )
последовательность в R. Тогда αk =                             называются коэф-
                                                      kek k2
                                                                       ∞
фициентами Фурье элемента x по системе {ek }∞
                                                                       P
                                            k=1 , ряд                      αk ek
                                                                       k=1
— рядом Фурье элемента x по системе {ek }∞
                                         k=1 , Sn =                    Sn (x) =
  n
    αk ek — n-й суммой Фурье элемента x по системе {ek }∞
  P
=                                                       k=1 .
  k=1

Страницы