Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

162 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Таким образом, каждому элементу x ∈ R ставится в соот-
ветствие его ряд Фурье:
x ∼
∞
X
k=1
α
k
e
k
. (3)
Говорят, что элемент x разложен в ряд Фурье, и пишут
x =
∞
P
k=1
α
k
e
k
, если ряд в (3) сходится к x в R, т. е.
kx − S
n
(x)k → 0 (n → ∞).
Очевидны с ледующие свойства частичных сумм ряда Фу-
рье:
S
n
(e
k
) = e
k
при 1 6 k 6 n,
откуда
S
n
(T
n
) = T
n
, если T
n
=
n
X
k=1
c
k
e
k
. (4)
Лемма 1 (об ортогональном проектировании).
(x − S
n
(x), e
k
) = 0 при 1 6 k 6 n. (5)
Лемма 2 (аналог теоремы Пифагора).
kxk
2
= kx − S
n
(x)k
2
+ kS
n
(x)k
2
. (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (5), имеем
kxk
2
= k(x − S
n
) + S
n
k
2
= ((x − S
n
) + S
n
, (x − S
n
) + S
n
) =
= kx − S
n
(x)k
2
+ kS
n
(x)k
2
.
Теорема 2 (минимальное свойство коэффициентов
Фурье).
min
c
1
, ..., c
n
x −
n
X
k=1
c
k
e
k
= kx − S
n
(x)k.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть T
n
=
n
P
k=1
c
k
e
k
. С помощью
леммы 2 и (4)
kx − T
n
k
2
= k(x − T
n
) − S
n
(x − T
n
)k
2
+ kS
n
(x − T
n
)k
2
=
= kx − S
n
(x)k
2
+ kS
n
(x) − T
n
k
2
> kx − S
n
(x)k
2
.
162 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   Таким образом, каждому элементу x ∈ R ставится в соот-
ветствие его ряд Фурье:
                           ∞
                           X
                        x∼   αk ek .                  (3)
                                   k=1
  Говорят, что элемент x разложен в ряд Фурье, и пишут
   ∞
   P
x=    αk ek , если ряд в (3) сходится к x в R, т. е.
    k=1
                     kx − Sn (x)k → 0      (n → ∞).
   Очевидны следующие свойства частичных сумм ряда Фу-
рье:
               Sn (ek ) = ek при 1 6 k 6 n,
откуда                                 n
                                      X
           Sn (Tn ) = Tn , если Tn =     ck ek .   (4)
                                                k=1
   Лемма 1 (об ортогональном проектировании).
              (x − Sn (x), ek ) = 0      при 1 6 k 6 n.             (5)

   Лемма 2 (аналог теоремы Пифагора).
                 kxk2 = kx − Sn (x)k2 + kSn (x)k2 .                 (6)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (5), имеем
kxk2 = k(x − Sn ) + Sn k2 = ((x − Sn ) + Sn , (x − Sn ) + Sn ) =
                                           = kx − Sn (x)k2 + kSn (x)k2 .

  Теорема 2 (минимальное свойство коэффициентов
Фурье).
                   n
                   X
           min x −   ck ek = kx − Sn (x)k.
              c1 , ..., cn
                             k=1
                                                 n
                                                 P
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Tn =            ck ek . С помощью
                                                k=1
леммы 2 и (4)
kx − Tn k2 = k(x − Tn ) − Sn (x − Tn )k2 + kSn (x − Tn )k2 =
                 = kx − Sn (x)k2 + kSn (x) − Tn k2 > kx − Sn (x)k2 .

Страницы