Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

164 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
2.
◦
x =
∞
X
k=1
α
k
e
k
,
3.
◦
справедливо равенство Парсеваля:
kxk
2
=
∞
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
. (8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что 1
◦
⇐⇒ 2
◦
. В силу
минимальности свойств коэффициентов Фурье 1
◦
эквивалентно
тому, что
∀ε > 0 ∃n
ε
∈ N : kx − S
n
ε
(x)k < ε,
а значит, в силу следствия 1 — тому, что
kx − S
n
(x)k < ε при ∀n > n
ε
.
Последнее эквивалентно 2
◦
.
Эквивалентность 2
◦
⇐⇒ 3
◦
становится очевидной, если
переписать (6) в виде
kxk
2
= kx − S
n
(x)k
2
+
n
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
.
З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (8) является
бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора.
Определение 3. Система {x
k
}
∞
k=1
элементов предгиль-
бертова (или линейного нормированного) пространства R на-
зывается полной в R, если множество (конечных) линейных
комбинаций ее элементов плотно в R.
Теорема 5 (критерий полноты ортогональной после-
довательности). Пусть {e
k
}
∞
k=1
— ортогональная последова-
тельность в R. Тогда следующие три утверждения эквива-
лентны:
1.
◦
{e
k
}
∞
k=1
полна в R,
2.
◦
x =
∞
P
k=1
α
k
e
k
∀x ∈ R,
3.
◦
kxk
2
=
∞
P
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
∀x ∈ R
164 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
              ∞
              X
   2.◦   x=         αk ek ,
              k=1
   3.◦ справедливо равенство Парсеваля:
                               ∞
                               X
                        kxk2 =    αk2 kek k2 .                       (8)
                                          k=1

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что 1◦ ⇐⇒ 2◦ . В силу
минимальности свойств коэффициентов Фурье 1◦ эквивалентно
тому, что
                ∀ε > 0        ∃ nε ∈ N : kx − Snε (x)k < ε,
а значит, в силу следствия 1 — тому, что
                     kx − Sn (x)k < ε при ∀ n > nε .
   Последнее эквивалентно 2◦ .
   Эквивалентность 2◦ ⇐⇒ 3◦ становится очевидной, если
переписать (6) в виде
                                                n
                                                X
                          2                2
                    kxk = kx − Sn (x)k +              αk2 kek k2 .
                                                k=1
   З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (8) является
бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора.
   Определение 3. Система {xk }∞  k=1 элементов предгиль-
бертова (или линейного нормированного) пространства R на-
зывается полной в R, если множество (конечных) линейных
комбинаций ее элементов плотно в R.
   Теорема 5 (критерий полноты ортогональной после-
довательности). Пусть {ek }∞  k=1 — ортогональная последова-
тельность в R. Тогда следующие три утверждения эквива-
лентны:
   1.◦ {ek }∞
            k=1 полна в R,
             ∞
     ◦
            P
   2. x =      αk ek ∀ x ∈ R,
              k=1
                    ∞
   3.◦   kxk2             αk2 kek k2 ∀ x ∈ R
                    P
                =
                    k=1

Страницы