Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

166 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд
∞
P
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
сходится в силу не-
равенства Бесселя (7). Следовательно, ряд
∞
P
k=1
α
k
e
k
сходится
по теореме 6 (Рисса–Фишера). Имеем далее при j ∈ N
(x −x
0
, e
j
) = (x, e
j
) −
∞
X
k=1
α
k
(e
k
, e
j
) =
= (x, e
j
) − α
j
ke
j
k
2
= (x, e
j
) − (x, e
j
) = 0.
Определение 4. Ортогональная последовательность
{e
k
}
∞
k=1
в предгильб ертовом пространстве R называется зам-
кнутой, если для ∀x ∈ R
(x, e
j
) = 0 (∀j ∈ N) ⇒ x =
~
0,
т. е. если не существует ненулевого элемента x ∈ R, ортого-
нального всем элементам системы {e
k
}
∞
k=1
.
Теорема 7. В гильбертовом пространстве H ортогональ-
ная система {e
k
}
∞
k=1
полна тогда и только тогда, когда она
замкнута.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть система {e
k
}
∞
k=1
полна в
H и x ∈ H. Тогда в силу равенства Парсеваля
kxk
2
=
∞
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
=
∞
X
k=1
(x, e
k
)
2
ke
k
k
2
.
Поэтому, если (x, e
k
) = 0 ∀k ∈ N, то kxk = 0, т. е. x =
~
0.
Следовательно, система {e
k
}
∞
k=1
замкнута.
2. Пусть система {e
k
}
∞
k=1
замкнута в H, x ∈ H и α
k
—
коэффициенты Фурье элемента x. Тогда по лемме 3 ряд
∞
X
k=1
α
k
e
k
=
∞
X
k=1
(x, e
k
)
ke
k
k
2
e
k
= x
0
∈ H
сходится к некоторому элементу x
0
∈ H, причем
(x − x
0
, e
k
) = 0 ∀k ∈ N.
166 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
                                             ∞
                                                   αk2 kek k2 сходится в силу не-
                                             P
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд
                                            k=1
                                                              ∞
                                                              P
равенства Бесселя (7). Следовательно, ряд                             αk ek сходится
                                                              k=1
по теореме 6 (Рисса–Фишера). Имеем далее при j ∈ N
                              ∞
                              X
(x − x0 , ej ) = (x, ej ) −         αk (ek , ej ) =
                              k=1
                              = (x, ej ) − αj kej k2 = (x, ej ) − (x, ej ) = 0.

    Определение 4.       Ортогональная последовательность
{ek }∞
     k=1 в предгильбертовом пространстве R называется зам-
кнутой, если для ∀ x ∈ R
                    (x, ej ) = 0       (∀ j ∈ N) ⇒ x = ~0,
т. е. если не существует ненулевого элемента x ∈ R, ортого-
нального всем элементам системы {ek }∞k=1 .

   Теорема 7. В гильбертовом пространстве H ортогональ-
ная система {ek }∞
                 k=1 полна тогда и только тогда, когда она
замкнута.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть система {ek }∞
                                                      k=1 полна в
H и x ∈ H. Тогда в силу равенства Парсеваля
                              ∞                    ∞
                              X                    X (x, ek )2
                  kxk2 =            αk2 kek k2 =                  .
                                                         kek k2
                              k=1                  k=1

Поэтому, если (x, ek ) = 0 ∀ k ∈ N, то kxk = 0, т. е. x = ~0.
   Следовательно, система {ek }∞  k=1 замкнута.
   2. Пусть система {ek }∞  k=1  замкнута  в H, x ∈ H и αk —
коэффициенты Фурье элемента x. Тогда по лемме 3 ряд
                  ∞                 ∞
                  X                 X (x, ek )
                        αk ek =                    ek = x0 ∈ H
                                          kek k2
                  k=1               k=1
сходится к некоторому элементу x0 ∈ H, причем
                        (x − x0 , ek ) = 0         ∀ k ∈ N.

Страницы