Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

168 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
непрерывных на [a, b] функций в указанных пространствах
(см. лемму 25.2.1 и примеры 25.2.6, 25.2.7).
Пример 9. Тригонометрическая система функций
(10) полна в пространствах CL
1
([−π, π]), CL
2
([−π, π]),
RL
1
((−π, π)), RL
2
((−π, π)), L
1
([−π, π]), L
2
([−π, π]) в силу при-
мера 6 и плотности в указанных пространствах множества
C
0
([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π],
f(−π) = f(π) = 0}.
Упражнение 2. Показать, что система (10) не полна в
RL
1
((−π, π + δ)) при δ > 0.
Пример 10. Пусть f ∈ L
2
([−π, π]). Тогда f раскладыва-
ется в тригонометрический ряд Фурье:
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
(сходящийся к f по норме в L
2
([−π, π]), т. е. в смысле среднего
квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx =
a
2
0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k
.
Здесь a
k
, b
k
— коэффициенты Фурье по тригонометриче-
ской системе, вычисляемые по формулам (24.1.2).
Утверждение вытекает из полноты системы (10) в
L
2
([−π, π]) (см. пример 9) и теоремы 5.
В частности, сформулированные свойства верны для про-
извольной непрерывной или кусочно непрерывной на [−π, π]
функции f.
Пример 11. Пусть f ∈ L
2
([−1, 1]). Тогда f раскладыва-
ется в ряд Фурье по полиномам Лежандра:
f(x) =
∞
X
n=0
α
n
P
n
, α
n
=
2n + 1
2
Z
1
−1
f(x)P
n
(x) dx
(сходящийся по норме в L
2
([−1, 1]), т. е. в смысле среднего
квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля.
168 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

непрерывных на [a, b] функций в указанных пространствах
(см. лемму 25.2.1 и примеры 25.2.6, 25.2.7).
   Пример 9.          Тригонометрическая система функций
(10) полна в пространствах CL1 ([−π, π]), CL2 ([−π, π]),
RL1 ((−π, π)), RL2 ((−π, π)), L1 ([−π, π]), L2 ([−π, π]) в силу при-
мера 6 и плотности в указанных пространствах множества
C0 ([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π],
                                               f (−π) = f (π) = 0}.
   Упражнение 2. Показать, что система (10) не полна в
RL1 ((−π, π + δ)) при δ > 0.
   Пример 10. Пусть f ∈ L2 ([−π, π]). Тогда f раскладыва-
ется в тригонометрический ряд Фурье:
                              ∞
                         a0 X
               f (x) =     +  ak cos kx + bk sin kx
                         2
                             k=1

(сходящийся к f по норме в L2 ([−π, π]), т. е. в смысле среднего
квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля
                                      ∞
              1 π 2             a2 X 2
                Z
                    f (x) dx = 0 +        ak + b2k .
              π −π              2
                                        k=1

    Здесь ak , bk — коэффициенты Фурье по тригонометриче-
ской системе, вычисляемые по формулам (24.1.2).
    Утверждение вытекает из полноты системы (10) в
L2 ([−π, π]) (см. пример 9) и теоремы 5.
    В частности, сформулированные свойства верны для про-
извольной непрерывной или кусочно непрерывной на [−π, π]
функции f .
    Пример 11. Пусть f ∈ L2 ([−1, 1]). Тогда f раскладыва-
ется в ряд Фурье по полиномам Лежандра:
                 ∞
                                 2n + 1 1
                X                      Z
        f (x) =     αn Pn , αn =            f (x)Pn (x) dx
                                   2     −1
               n=0

(сходящийся по норме в L2 ([−1, 1]), т. е. в смысле среднего
квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля.

Страницы