Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 167
Отсюда следует в силу замкнутости системы, что x −x
0
=
= 0, т. е. x = x
0
=
∞
P
k=1
α
k
e
k
.
Из теоремы 5 следует теперь, что система {e
k
}
∞
k=1
полна.
Обратимся к конкретным примерам.
Пример 4. Последовательность одночленов {x
k
}
∞
k=0
полна
в нормированном пространстве функций C([a, b]):
C([a, b]) = {f : f — непрерывна на [a, b], kfk = max
[a,b]
|f|}
в силу теоремы 24.3.3 Вейерштрасса о приближении непрерыв-
ной функции алгебраическими многочленами.
Пример 5. Тригонометрическая система
1
2
, cos t, sin t, cos 2t; sin 2t, cos 3t, sin 3t, . . . (10)
полна в нормированном пространстве функций:
C
per
= {f : f — 2π-периодическая непрерывная функция,
kfk = max
(−∞,+∞)
|f|}
в силу теоремы 24.3.1 Вейерштрасса о приближении непрерыв-
ных периодических функций тригонометрическими многочле-
нами.
Пример 6. Тригонометрическая система (10) полна в про-
странстве функций:
C
∗
([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π], f(−π) = f (π)}
в силу теоремы 24.3.1
0
Вейерштрасса.
Пример 7. Тригонометрическая система (10) не является
полной в пространстве C([−π, π]). Например, никакую непре-
рывную на [−π, π] функцию f при f(−π) 6= f (π) нельзя с высо-
кой точностью приблизить никаким тригонометрическим мно-
гочленом, т. к. для всякого тригонометрического многочлена
T
n
выполнено условие T
n
(−π) = T
n
(π).
Пример 8. Последовательность одночленов {x
k
}
∞
k=0
полна
в пространствах CL
1
([a, b]), CL
2
([a, b]), RL
1
([a, b]), RL
2
([a, b]),
L
1
([a, b]), L
2
([a, b]) в силу примера 4 и плотности множества
      § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним              167

   Отсюда следует в силу замкнутости системы, что x − x0 =
                    ∞
                    P
= 0, т. е. x = x0 =   αk ek .
                     k=1
   Из теоремы 5 следует теперь, что система {ek }∞
                                                 k=1 полна.
   Обратимся к конкретным примерам.
   Пример 4. Последовательность одночленов {xk }∞  k=0 полна
в нормированном пространстве функций C([a, b]):
   C([a, b]) = {f : f — непрерывна на [a, b], kf k = max |f |}
                                                            [a,b]

в силу теоремы 24.3.3 Вейерштрасса о приближении непрерыв-
ной функции алгебраическими многочленами.
    Пример 5. Тригонометрическая система
          1
            , cos t, sin t, cos 2t; sin 2t, cos 3t, sin 3t, . . . (10)
          2
полна в нормированном пространстве функций:
Cper = {f : f — 2π-периодическая непрерывная функция,
                                                  kf k =    max      |f |}
                                                           (−∞,+∞)
в силу теоремы 24.3.1 Вейерштрасса о приближении непрерыв-
ных периодических функций тригонометрическими многочле-
нами.
    Пример 6. Тригонометрическая система (10) полна в про-
странстве функций:
C ∗ ([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π], f (−π) = f (π)}
в силу теоремы 24.3.10 Вейерштрасса.
    Пример 7. Тригонометрическая система (10) не является
полной в пространстве C([−π, π]). Например, никакую непре-
рывную на [−π, π] функцию f при f (−π) 6= f (π) нельзя с высо-
кой точностью приблизить никаким тригонометрическим мно-
гочленом, т. к. для всякого тригонометрического многочлена
Tn выполнено условие Tn (−π) = Tn (π).
    Пример 8. Последовательность одночленов {xk }∞         k=0 полна
в пространствах CL1 ([a, b]), CL2 ([a, b]), RL1 ([a, b]), RL2 ([a, b]),
L1 ([a, b]), L2 ([a, b]) в силу примера 4 и плотности множества

Страницы