Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 169
Сказанное верно, в частности, для произвольной непрерыв-
ной или кусочно непрерывной на отрезке [−1, 1] функции f.
Обоснование то же, что в примере 10.
Определение 5. Пусть R — нормированное простран-
ство. Последовательность {e
j
}
∞
j=1
, e
j
∈ R ∀j ∈ N, называется
базисом в R, если
1.
◦
для ∀x ∈ R справедливо представление
x =
∞
X
j=1
λ
j
e
j
, λ
j
∈ R;
2.
◦
указанное представление единственно.
Упражнение 3. Показать, что система {e
j
}
∞
j=1
элементов
базиса линейно независима.
Базис является, очевидно, полной системой в R. Обратное
не верно. Например, система одночленов {x
k
}
∞
k=0
, являясь пол-
ной в C([−1, 1]) (см. пример 4), не является в этом простран-
стве базисом. В самом деле, если f(x) =
∞
P
k=0
λ
k
x
k
, причем ряд
сходится в C([−1, 1]), т. е. равномерно на [−1, 1], то его сумма
f является бесконечно дифференцируемой на (−1, 1), но не про-
извольной функцией из C([−1, 1]).
Известно, что тригонометрическая система (10) не является
базисом в C
∗
([−π, π]), являясь в этом пространстве полной си-
стемой (пример 6).
Теорема 8. Пусть {e
k
}
∞
k=1
— ортогональная система в
предгильбертовом пространстве R. Если {e
k
}
∞
k=1
— полная
система, то она является базисом в R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {e
k
}
∞
k=1
— полная система
в предгильбертовом пространстве R и x ∈ R. Тогда в силу
теоремы 5
x =
∞
X
k=1
α
k
e
k
, α
k
=
(x, e
k
)
kek
2
,
т. е. x совпадает с суммой своего ряда Фурье. Такое предста-
вление единственно по теореме 1. Следовательно, {e
k
}
∞
k=1
—
базис в R.
     § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним      169

   Сказанное верно, в частности, для произвольной непрерыв-
ной или кусочно непрерывной на отрезке [−1, 1] функции f .
   Обоснование то же, что в примере 10.
   Определение 5. Пусть R — нормированное простран-
ство. Последовательность {ej }∞
                              j=1 , ej ∈ R ∀ j ∈ N, называется
базисом в R, если
   1.◦ для ∀ x ∈ R справедливо представление
                           X∞
                       x=      λj ej , λj ∈ R;
                            j=1
   2.◦ указанное представление единственно.
    Упражнение 3. Показать, что система {ej }∞   j=1 элементов
базиса линейно независима.
    Базис является, очевидно, полной системой в R. Обратное
не верно. Например, система одночленов {xk }∞ k=0 , являясь пол-
ной в C([−1, 1]) (см. пример 4), не является в этом простран-
                                          ∞
                                             λk xk , причем ряд
                                          P
стве базисом. В самом деле, если f (x) =
                                          k=0
сходится в C([−1, 1]), т. е. равномерно на [−1, 1], то его сумма
f является бесконечно дифференцируемой на (−1, 1), но не про-
извольной функцией из C([−1, 1]).
   Известно, что тригонометрическая система (10) не является
базисом в C ∗ ([−π, π]), являясь в этом пространстве полной си-
стемой (пример 6).
   Теорема 8. Пусть {ek }∞   k=1 — ортогональная система в
предгильбертовом пространстве R. Если {ek }∞ k=1 — полная
система, то она является базисом в R.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {ek }∞
                                            k=1 — полная система
в предгильбертовом пространстве R и x ∈ R. Тогда в силу
теоремы 5
                          ∞
                         X                (x, ek )
                    x=       αk ek , αk =          ,
                                            kek2
                         k=1
т. е. x совпадает с суммой своего ряда Фурье. Такое предста-
вление единственно по теореме 1. Следовательно, {ek }∞     k=1 —
базис в R.

Страницы