Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

170 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Теорема 9 (об ортогонализации). Пусть {x
k
}
∞
k=1
—
линейно независимая система элементов в предгильбертовом
пространстве R. Тогда в R существует система элементов
{e
k
}
∞
k=1
, удовлетворяющая следующим условиям:
1.
◦
система {e
k
}
∞
k=1
ортогональная и нормированная,
2.
◦
при каждом n ∈ N
e
n
= a
n1
x
1
+ . . . + a
nn
x
n
, a
nn
6= 0.
Каждый элемент системы {e
k
}
∞
k=1
определяется условиями 1
◦
,
2
◦
однозначно с точностью до множителя ±1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент e
1
ищется в виде e
1
=
= a
11
x
1
; при этом a
11
определяется из условия
(e
1
, e
1
) = a
2
11
(x
1
, x
1
) = 1, т. е. a
11
=
±1
kx
1
k
2
.
Пусть элементы e
k
(∀k 6 n − 1), удовлетворяющие усло-
виям 1
◦
, 2
◦
, уже построены.
Ищем элемент e
n
в виде
e
n
= a
nn
(x
n
− b
n1
e
1
− . . . − b
n,n−1
e
n−1
).
Здесь виден геометрический смысл выражения
x
n
− b
n,1
e
1
− . . . − b
n,n−1
e
n−1
,
состоящий в том, что из элемента x
n
вычитается его проекция
на подпространство, натянутое на элементы e
1
, . . . , e
n−1
.
Из требований ортогональности (e
n
, e
k
) = 0 при k < n по-
лучаем, что
b
n
k
= (x
n
, e
k
) (k = 1, . . . , n − 1).
Из требования нормированности получаем, что
(e
n
, e
n
) = a
2
nn
kx
n
− b
n1
e
1
− . . . − b
n,n−1
e
n−1
k
2
= 1,
откуда a
nn
(а значит, и e
n
) определяется с точностью до мно-
жителя ±1.
Переход от системы {x
k
}
∞
k=1
к системе {e
k
}
∞
k=1
, удовлетво-
ряющей условиям 1
◦
, 2
◦
, называется процессом ортогонализа-
ции. Ясно, что системы {x
k
}
∞
k=1
и {e
k
}
∞
k=1
полны или не полны
в R одновременно.
170 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

    Теорема 9 (об ортогонализации). Пусть {xk }∞        k=1 —
линейно независимая система элементов в предгильбертовом
пространстве R. Тогда в R существует система элементов
{ek }∞
     k=1 , удовлетворяющая следующим условиям:
     1.◦ система {ek }∞
                      k=1 ортогональная и нормированная,
     2.◦ при каждом n ∈ N
                  en = an1 x1 + . . . + ann xn ,    ann 6= 0.
Каждый элемент системы {ek }∞                           ◦
                            k=1 определяется условиями 1 ,
 ◦
2 однозначно с точностью до множителя ±1.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент e1 ищется в виде e1 =
= a11 x1 ; при этом a11 определяется из условия
                                                          ±1
           (e1 , e1 ) = a211 (x1 , x1 ) = 1, т. е. a11 =        .
                                                         kx1 k2
   Пусть элементы ek (∀ k 6 n − 1), удовлетворяющие усло-
виям 1◦ , 2◦ , уже построены.
   Ищем элемент en в виде
            en = ann (xn − bn1 e1 − . . . − bn,n−1 en−1 ).
   Здесь виден геометрический смысл выражения
                  xn − bn,1 e1 − . . . − bn,n−1 en−1 ,
состоящий в том, что из элемента xn вычитается его проекция
на подпространство, натянутое на элементы e1 , . . . , en−1 .
   Из требований ортогональности (en , ek ) = 0 при k < n по-
лучаем, что
               bnk = (xn , ek )   (k = 1, . . . , n − 1).
   Из требования нормированности получаем, что
      (en , en ) = a2nn kxn − bn1 e1 − . . . − bn,n−1 en−1 k2 = 1,
откуда ann (а значит, и en ) определяется с точностью до мно-
жителя ±1.
   Переход от системы {xk }∞                     ∞
                              k=1 к системе {ek }k=1 , удовлетво-
                   ◦  ◦
ряющей условиям 1 , 2 , называется процессом ортогонализа-
ции. Ясно, что системы {xk }∞           ∞
                             k=1 и {ek }k=1 полны или не полны
в R одновременно.

Страницы