Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

172 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью замены
J(y) =
Z
1
0
f(ϕ(y)+t(ψ(y)−ϕ(y)))(ψ(y)−ϕ(y)) dt C
Z
1
0
g(t, y) dt.
Подынтегральная функция g непрерывна на [0, 1] ×[c, d] по
теореме о непрерывности композиции непрерывных функций.
По теореме 1 интеграл J (y) непрерывен на [c, d].
Теорема 3 (об интегрировании под знаком инте-
грала). Пусть
1.
◦
функция f интегрируема на [a, b] × [c, d],
2.
◦
интеграл I(y) =
R
b
a
f(x, y) dx существует при каждом
y ∈ [c, d],
3.
◦
интеграл
R
d
c
f(x, y) dy существует при каждом x ∈ [a, b].
Тогда существуют оба повторных интеграла и
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
d
c
f(x, y) dy dx.
Эта теорема вытекает из теорем 19.3.1, 19.3.1
0
.
Последняя формула справедлива, в частности, если функ-
ция f непрерывна на [a, b] × [c, d].
Теорема 4 (правило Лейбница). Пусть f и
∂f
∂y
непре-
рывны на [a, b] × [c, d]. Тогда функция
I(y) =
Z
b
a
f(x, y) dx
дифференцируема на [c, d] и
dI(y)
dy
=
Z
b
a
∂
∂y
f(x, y) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y ∈ [c, d], y + ∆y ∈ [c, d].
Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа,
имеем
I(y + ∆y) − I(y)
∆y
−
Z
b
a
∂
∂y
f(x, y) dx
=
=
Z
b
a
f(x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y
−
∂f
∂y
(x, y)
6
172         Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

   Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью замены
       Z 1                                       Z        1
J(y) =     f (ϕ(y)+t(ψ(y)−ϕ(y)))(ψ(y)−ϕ(y)) dt C              g(t, y) dt.
        0                                             0
   Подынтегральная функция g непрерывна на [0, 1] × [c, d] по
теореме о непрерывности композиции непрерывных функций.
По теореме 1 интеграл J(y) непрерывен на [c, d].
   Теорема 3 (об интегрировании под знаком инте-
грала). Пусть
   1.◦ функция f интегрируема на [a, b] × [c, d],
                             Rb
   2.◦ интеграл I(y) = a f (x, y) dx существует при каждом
       y ∈ [c, d],
     ◦
                   Rd
   3. интеграл c f (x, y) dy существует при каждом x ∈ [a, b].
Тогда существуют оба повторных интеграла и
           Z dZ b                    Z bZ d
                    f (x, y) dx dy =        f (x, y) dy dx.
             c   a                 a   c
   Эта теорема вытекает из теорем 19.3.1, 19.3.10 .
   Последняя формула справедлива, в частности, если функ-
ция f непрерывна на [a, b] × [c, d].
   Теорема 4 (правило Лейбница). Пусть f и ∂f  ∂y непре-
рывны на [a, b] × [c, d]. Тогда функция
                               Z b
                        I(y) =     f (x, y) dx
                               a
дифференцируема на [c, d] и
                          Z b
                dI(y)         ∂
                        =        f (x, y) dx.
                 dy         a ∂y
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y ∈ [c, d], y + ∆y ∈ [c, d].
Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа,
имеем
                       Z b
 I(y + ∆y) − I(y)           ∂
                    −          f (x, y) dx =
       ∆y                a  ∂y
             Z b                                      
                   f (x, y + ∆y) − f (x, y) ∂f
          =                                 −    (x, y) 6
              a               ∆y              ∂y

Страницы