Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

174 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
основания последнего достаточно убедиться в непрерывности
на [c, d] × [a, b] × [a, b] производных
F
0
u
(y, u, v) = −f(u, y), F
0
v
(y, u, v) = f(v, y),
F
0
y
(y, u, v) =
Z
v
u
∂f
∂y
(x, y) dx.
Производные F
0
u
, F
0
v
непрерывны в силу непрерывности
функции f.
Производная F
0
y
, вычисленная по правилу Лейбница (тео-
рема 4), с помощью замены переменной в интеграле записыва-
ется в виде
F
0
y
(y, u, v) =
Z
1
0
∂f
∂y
(u + (v −u)t, y)(v −u) dt C
Z
1
0
h(y, u, v, t) dt.
(2)
По теореме о непрерывности композиции непрерывных
функций подынтегральная функция h непрерывна на [c, d] ×
× [a, b] × [a, b] × [0, 1]. Отсюда следует, что интеграл
R
1
0
h(y, u, v, t) dt непрерывен на [c, d] × [a, b] × [a, b]. Послед-
нее свойство можно установить с помощью непосредственной
оценки:
Z
1
0
h(y + ∆y, u + ∆u, v + ∆v, t) dt −
Z
1
0
h(y, u, v, t) dt
6
6
Z
1
0
|h(y + ∆y, u + ∆u, v + ∆v, t) − h(y, u, v, t)|dt 6 ω(δ, h),
где ω(δ, h) — модуль непрерывности функции h, (∆y)
2
+(∆u)
2
+
+ (∆v)
2
6 δ
2
.
§ 26.2. Равномерная сходимость на множестве
Определение 1. Пусть X ⊂ R, Y ⊂ R, y
0
— предельная
точка множества Y (не исключается y
0
= +∞, −∞, ∞).
Пусть заданы функции f : X ×Y → R, ϕ: X → R. Говорят,
что функция f равномерно на X стремится к ϕ при Y 3 y →
→ y
0
, и пишут
f(x, y) ⇒
X
ϕ(x) при Y 3 y → y
0
,
174          Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

основания последнего достаточно убедиться в непрерывности
на [c, d] × [a, b] × [a, b] производных
            Fu0 (y, u, v) = −f (u, y),         Fv0 (y, u, v) = f (v, y),
                                       Z   v
                                               ∂f
                       Fy0 (y, u, v) =              (x, y) dx.
                                       u       ∂y
     Производные Fu0 , Fv0 непрерывны в силу непрерывности
функции f .
     Производная Fy0 , вычисленная по правилу Лейбница (тео-
рема 4), с помощью замены переменной в интеграле записыва-
ется в виде
                 Z 1                                    Z 1
  0                   ∂f
Fy (y, u, v) =           (u + (v − u)t, y)(v − u) dt C       h(y, u, v, t) dt.
                   0 ∂y                                   0
                                                                          (2)
     По теореме о непрерывности композиции непрерывных
функций подынтегральная функция h непрерывна на [c, d] ×
×
R 1 [a, b] × [a, b] × [0, 1].      Отсюда следует, что интеграл
 0  h(y,  u, v, t) dt непрерывен    на [c, d] × [a, b] × [a, b]. Послед-
нее свойство можно установить с помощью непосредственной
оценки:
 Z 1                                         Z 1
      h(y + ∆y, u + ∆u, v + ∆v, t) dt −          h(y, u, v, t) dt 6
   0                                          0
        Z 1
     6       |h(y + ∆y, u + ∆u, v + ∆v, t) − h(y, u, v, t)| dt 6 ω(δ, h),
        0
где ω(δ, h) — модуль непрерывности функции h, (∆y)2 +(∆u)2 +
+ (∆v)2 6 δ 2 .

      § 26.2. Равномерная сходимость на множестве
   Определение 1. Пусть X ⊂ R, Y ⊂ R, y0 — предельная
точка множества Y (не исключается y0 = +∞, −∞, ∞).
   Пусть заданы функции f : X × Y → R, ϕ: X → R. Говорят,
что функция f равномерно на X стремится к ϕ при Y 3 y →
→ y0 , и пишут
                  f (x, y) ⇒ ϕ(x) при Y 3 y → y0 ,
                           X

Страницы