Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.2. Равномерная сходимость на множестве 175
если
sup
x∈X
|f(x, y) − ϕ(x)| → 0 при Y 3 y → y
0
. (1)
Можно сформулировать определение равномерного стре-
мления f к ϕ, эквивалентное определению 1, если вместо усло-
вия (1) написать:
∀ε > 0 ∃U(y
0
) : |f(x, y) −ϕ(y)| < ε ∀y ∈ Y ∩
˚
U(y
0
).
В последней формулировке вместо U (y
0
) можно написать
U
δ
(y
0
), где δ = δ(ε) > 0.
Пример 1. Пусть функция f непрерывна на [a, b] × [c, d],
y
0
∈ [c, d]. Тогда
f(x, y) ⇒ f(x, y
0
).
В самом деле, из равномерной непрерывности функции f на
[a, b] × [c, d] следует, что для
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |f(x, y) −f (x, y
0
)| < ε при |y −y
0
| < δ.
В случае Y = N, y
0
= +∞ значения функции f на X ×
× Y можно записать как f
n
(x) B f (x, n). Тогда понятие рав-
номерного стремления f(x, n) ⇒
X
ϕ(x) при n → ∞ совпадает с
изученным понятием равномерной на X сходимости последо-
вательности {f
n
(x)}
∞
n=1
:
f
n
(x) ⇒
X
ϕ(x) при n → ∞.
З а м е ч а н и е 1. Введем нормированное простран-
ство ограниченных на X функций:
M(X) = {g : g — ограничена на X, kgk
M
= sup
X
|g|}.
Тогда равномерное стремление f(x, y) ⇒
Y 3y→y
0
ϕ(x) на X со-
впадает, очевидно, с понятием стремления по норме:
kf(·, y) − ϕ(·)k
M
→ 0 при Y 3 y → y
0
,
а понятие равномерной сходимости последовательности
f
n
(x) ⇒ ϕ(x) — со сходимостью этой последовательности по
норме:
kf
n
− ϕk
M
→ 0 при Y 3 y → y
0
.
           § 26.2. Равномерная сходимость на множестве                175
если
            sup |f (x, y) − ϕ(x)| → 0    при Y 3 y → y0 .             (1)
            x∈X

   Можно сформулировать определение равномерного стре-
мления f к ϕ, эквивалентное определению 1, если вместо усло-
вия (1) написать:
    ∀ε > 0    ∃ U (y0 ) : |f (x, y) − ϕ(y)| < ε ∀ y ∈ Y ∩ Ů (y0 ).
     В последней формулировке вместо U (y0 ) можно написать
Uδ (y0 ), где δ = δ(ε) > 0.
     Пример 1. Пусть функция f непрерывна на [a, b] × [c, d],
y0 ∈ [c, d]. Тогда
                          f (x, y) ⇒ f (x, y0 ).
     В самом деле, из равномерной непрерывности функции f на
[a, b] × [c, d] следует, что для
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |f (x, y) − f (x, y0 )| < ε при |y − y0 | < δ.
   В случае Y = N, y0 = +∞ значения функции f на X ×
× Y можно записать как fn (x) B f (x, n). Тогда понятие рав-
номерного стремления f (x, n) ⇒ ϕ(x) при n → ∞ совпадает с
                                   X
изученным понятием равномерной на X сходимости последо-
вательности {fn (x)}∞
                    n=1 :
                   fn (x) ⇒ ϕ(x)      при   n → ∞.
                         X
   З а м е ч а н и е 1. Введем нормированное простран-
ство ограниченных на X функций:
       M (X) = {g : g — ограничена на X, kgkM = sup |g|}.
                                                          X
   Тогда равномерное стремление f (x, y)          ⇒      ϕ(x) на X со-
                                               Y 3y→y0
впадает, очевидно, с понятием стремления по норме:
             kf (·, y) − ϕ(·)kM → 0     при Y 3 y → y0 ,
а понятие равномерной сходимости последовательности
fn (x) ⇒ ϕ(x) — со сходимостью этой последовательности по
норме:
              kfn − ϕkM → 0 при Y 3 y → y0 .

Страницы