Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

176 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
Если же X = [a, b], и f(x, y) непрерывна на [a, b] как функ-
ция x при каждом y ∈ Y , то вместо M([a, b]) можно взять
C([a, b]).
Так же, как для случая равномерной сходимости последо-
вательнос ти функций, доказываются следующие три теоремы.
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы заданная
на X × Y ⊂ R × R функция f равномерно на X стремилась к
какой-либо функции при Y 3 y → y
0
, необходимо и достаточно
выполне ния условия Коши
∀ε > 0 ∃δ = δ
ε
> 0 : sup
x∈X
|f(x, y
0
) − f(x, y
00
)| < ε
∀y
0
, y
00
∈ Y ∩
˚
U
δ
(y
0
).
Теорема 2. Пусть заданная на X × Y ⊂ R × R функция f
при каждом фиксированном y ∈ Y непрерывна как функция от
x в точке x
0
∈ X (по X)
f(x, y) ⇒
X
ϕ(x) при Y 3 y → y
0
.
Тогда ϕ непрерывна в точке x
0
(по X).
Теорема 3. Пусть функция f : [a, b] × Y → R при каждом
y ∈ Y непрерывна на [a, b] как функция x.
Пусть
f(x, y) ⇒
[a,b]
ϕ(x) при Y 3 y → y
0
.
Тогда
Z
b
a
f(x, y) dx →
Z
b
a
ϕ(x) dx при Y 3 y → y
0
.
Теорему 3 называют теоремой о предельном переходе под
знаком интеграла, поскольку она утверждает, что
lim
Y 3y→y
0
Z
b
a
f(x, y) dx =
Z
b
a
lim
Y 3y→y
0
f(x, y) dx.
Упражнение 1. Получить в качестве следствия из тео-
ремы 3 теорему 26.1.1.
Упражнение 2. Сравнить теоремы 1, 2, 3 соответственно
с теоремами 16.1.1, 16.3.1, 16.3.2.
176            Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

   Если же X = [a, b], и f (x, y) непрерывна на [a, b] как функ-
ция x при каждом y ∈ Y , то вместо M ([a, b]) можно взять
C([a, b]).
   Так же, как для случая равномерной сходимости последо-
вательности функций, доказываются следующие три теоремы.
   Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы заданная
на X × Y ⊂ R × R функция f равномерно на X стремилась к
какой-либо функции при Y 3 y → y0 , необходимо и достаточно
выполнения условия Коши
∀ ε > 0 ∃ δ = δε > 0 : sup |f (x, y 0 ) − f (x, y 00 )| < ε
                                   x∈X
                                                            ∀ y 0 , y 00 ∈ Y ∩ Ůδ (y0 ).

   Теорема 2. Пусть заданная на X × Y ⊂ R × R функция f
при каждом фиксированном y ∈ Y непрерывна как функция от
x в точке x0 ∈ X (по X)
                      f (x, y) ⇒ ϕ(x) при Y 3 y → y0 .
                               X
Тогда ϕ непрерывна в точке x0 (по X).
   Теорема 3. Пусть функция f : [a, b] × Y → R при каждом
y ∈ Y непрерывна на [a, b] как функция x.
   Пусть
             f (x, y) ⇒ ϕ(x) при Y 3 y → y0 .
                              [a,b]
Тогда
         Z     b                      Z   b
                   f (x, y) dx →              ϕ(x) dx   при Y 3 y → y0 .
           a                          a
   Теорему 3 называют теоремой о предельном переходе под
знаком интеграла, поскольку она утверждает, что
               Z b               Z b
          lim      f (x, y) dx =     lim f (x, y) dx.
             Y 3y→y0      a                        a Y 3y→y0
    Упражнение 1. Получить в качестве следствия из тео-
ремы 3 теорему 26.1.1.
    Упражнение 2. Сравнить теоремы 1, 2, 3 соответственно
с теоремами 16.1.1, 16.3.1, 16.3.2.

Страницы