Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 178 стр.

178          Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

однако быстрота этого стремления к нулю может существенно
зависеть от y. Условие же 2◦ показывает, что стремление к
нулю интеграла в (3) «в равной мере быстрое» на множестве
точек из Y (точнее говоря, имеется стремящаяся к нулю мино-
ранта скорости этого стремления).
   Пример 1.
               Z ∞
        I(y) =     y e−xy dx, Y = (δ, +∞) ⊂ (0, +∞).
                      0
Здесь
                  Z   ∞                       Z   ∞
           sup            y e−xy dx = sup             e−u du = e−ηδ .
           y∈Y    η                     y∈Y   ηy

      При δ > 0       lim e−ηδ = 0, так что I(y) сходится равномерно
                  η→+∞
на (δ, +∞).
   При δ = 0 e−η0 6→ 0 (η → +∞), так что I(y) не сходится
равномерно на (0, +∞).
   З а м е ч а н и е 1. Условие 2◦ определения 1 можно
переписать в виде
                      I(y, η) ⇒ I(y) при η → b − 0.
                              Y

    Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимо-
сти несобственного интеграла). Для того чтобы несоб-
ственный интеграл (1) сходился равномерно на Y , необходимо
и достаточно выполнения условия Коши:
                            Z η00
 ∀ ε > 0 ∃ η ∈ [a, b) : sup     f (x, y) dx < ε ∀ η 0 , η 00 ∈ [ηε , b). (4)
                             y∈Y   η0


   Д о к а з а т е л ь с т в о необходимости основывается на
равенствеZ 00
           η                 Z b               Z b
              f (x, y) dx =      f (x, y) dx −     f (x, y) dx,
            η0                     η0                   η 00

а достаточности — на критерии Коши сходимости несобствен-
ного интеграла (теорема 14.7.1) и предельном переходе при
                            R η00
η 00 → b − 0 в неравенстве | η0 f (x, y) dx| < ε.