Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 179 стр.

   § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра                 179

   З а м е ч а н и е 2. Доказательство теоремы 1 можно
получить в качестве следствия теоремы 26.2.1, используя за-
мечание 1.
   Упражнение 1. Доказать, что несобственный интеграл
                Z ∞
         I(y) =     e−yx sin x dx, Y = Yδ = (δ, +∞)
                       0
а) сходится равномерно на множестве Yδ при δ > 0;
б) сходится, но не равномерно на Y0 .
   Упражнение 2. Доказать, что несобственный интеграл
                     Z ∞
                              sin x
              I(y) =     e−yx       dx, y > 0,
                      0         x
сходится равномерно на Y = [0, +∞).
     Теорема 2 (признак сравнения). Пусть функции f, g:
[a, b) × Y → R, [a, b) ⊂ R, Y ⊂ Rm . Пусть при некотором M >
> 0 |f (x, y)| 6 M g(x, y) при (x, y) ∈ [a, b) × Y и несобственный
интеграл                       Z b
                        J(y) =     g(x, y) dx
                                       a
сходится равномерно на Y .
   Тогда несобственный интеграл
                           Z b
                    I(y) =     f (x, y) dx
                                       a
сходится равномерно на Y .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0. Тогда в силу равно-
мерной сходимости J(y) и критерия Коши
                         Z η00
    ∃ ηε ∈ [a, b) : sup        g(x, y) dx < ε ∀ η 0 , η 00 ∈ [ηε , b).
                        y∈Y      η0
   Тогда
                 Z   η 00
           sup              f (x, y) dx < M ε   ∀ η 0 , η 00 ∈ [ηε , b).
           y∈Y   η0

   В силу критерия Коши несобственный интеграл I(y) схо-
дится равномерно на Y .
   Частным случаем признака сравнения (теоремы 2) явля-
ется