Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

180 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
Теорема 3 (признак Вейерштрасса равномерной
сходимости несобственного интеграла). Пусть
f : [a, b) × Y → R, ϕ : [a, b) → R,
|f(x, y)| 6 ϕ(x) при (x, y) ∈ [a, b) × Y.
Пусть несобственный интеграл
R
b
a
ϕ(x) dx сходится. Тогда не-
собственный интеграл
R
b
a
f(x, y) dx сходится равномерно на Y .
Упражнение 3. Доказать, что несобственный интеграл
Y (y) =
Z
∞
0
cos yx
1 + x
2
dx
сходится равномерно на (−∞, +∞).
Установим достаточные условия непрерывности несоб-
ственного интеграла I(y) (1), возможности его интегрирова-
ния и дифференцирования под знаком интеграла.
Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [a, b) × Π,
Π = [c
1
, d
1
] × . . . × [c
m
, d
m
], и интеграл
I(y) =
Z
b
a
f(x, y) dx, y ∈ Π, (5)
сходится равномерно на Π.
Тогда I(y) непрерывен на Π.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0 и η
ε
∈ [a, b) таково,
что
sup
Π
Z
b
η
ε
f(x, y) dx
< ε.
Пусть y, y + ∆y ∈ Π. Тогда
|I(y + ∆y) − I(y)| 6
Z
η
ε
a
|f(x, y + ∆y) − f (x, y)|dx+
+
Z
b
η
ε
f(x, y + ∆y) dx
+
Z
b
η
ε
f(x, y) dx
6
6 (η
ε
− a)ω(|∆y|, f, Π
ε
) + ε + ε,
где ω(δ, f, Π
ε
) — модуль непрерывности функции f на замкну-
том прямоугольнике Π
ε
B [a, η
ε
] × Π, который (при фиксиро-
ванном ε > 0) стремится к нулю при δ → 0. Следовательно,
180         Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

   Теорема 3 (признак Вейерштрасса равномерной
сходимости несобственного интеграла). Пусть
              f : [a, b) × Y → R,          ϕ : [a, b) → R,
          |f (x, y)| 6 ϕ(x) при (x, y) ∈ [a, b) × Y.
                               Rb
Пусть несобственный интеграл a ϕ(x) dx сходится. Тогда не-
                        Rb
собственный интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно на Y .
   Упражнение 3. Доказать, что несобственный интеграл
                           Z ∞
                               cos yx
                   Y (y) =            dx
                            0  1 + x2
сходится равномерно на (−∞, +∞).
   Установим достаточные условия непрерывности несоб-
ственного интеграла I(y) (1), возможности его интегрирова-
ния и дифференцирования под знаком интеграла.
   Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [a, b) × Π,
Π = [c1 , d1 ] × . . . × [cm , dm ], и интеграл
                                Z b
                       I(y) =       f (x, y) dx, y ∈ Π, (5)
                            a
сходится равномерно на Π.
   Тогда I(y) непрерывен на Π.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0 и ηε ∈ [a, b) таково,
что                         Z   b
                      sup           f (x, y) dx < ε.
                       Π    ηε
    Пусть y, y + ∆y ∈ Π. Тогда
                      Z ηε
|I(y + ∆y) − I(y)| 6       |f (x, y + ∆y) − f (x, y)| dx+
                        a
              Z b                       Z b
           +      f (x, y + ∆y) dx +        f (x, y) dx 6
                ηε                            ηε
                                        6 (ηε − a)ω(|∆y|, f, Πε ) + ε + ε,
где ω(δ, f, Πε ) — модуль непрерывности функции f на замкну-
том прямоугольнике Πε B [a, ηε ] × Π, который (при фиксиро-
ванном ε > 0) стремится к нулю при δ → 0. Следовательно,

Страницы