Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

182 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
6 (d − c) sup
y∈[c,d]
Z
b
η
f(x, y) dx
→ 0
при η → b − 0 в силу равномерной сходимости I(y). Следова-
тельно, и правая часть (7) имеет конечный предел, который по
определению несобственного интеграла есть правая часть (6).
Переходя в равенстве (7) к пределу при η → b −0, получаем
равенство (6).
Упражнение 5. Получить теоремы 4 (при m = 1), 6 в
качестве следствий из теорем 26.2.2, 26.2.3. Сравнить с дока-
зательством теорем 16.3.1
0
, 16.3.2
0
.
Теорема 7 (о дифференцировании под знаком инте-
грала). Пусть функции f,
∂f
∂y
непрерывны на [a, b) × [c, d].
Пусть для некоторого y
0
∈ [c, d] сходится интеграл I(y
0
) =
=
R
b
a
f(x, y
0
) dx, а интеграл
R
b
a
∂f
∂y
(x, y) dx сходится равномерно
на [c, d].
Тогда функция I(y) дифференцируема и
d
dy
I(y) =
Z
b
a
∂f
∂y
(x, y) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 6 при y ∈ [c, d]
Z
y
y
0
Z
b
a
f
0
y
(x, t) dx dt =
Z
b
a
(f(x, y) − f(x, y
0
)) dx =
=
Z
b
a
f(x, y) dx −
Z
b
a
f(x, y
0
) dx.
Первый из интегралов в правой части сходится в силу схо-
димости второго интеграла и интеграла в средней части ра-
венства. Дифференцируя полученное тождество, имеем
Z
b
a
f
0
y
(x, y) dx =
d
dy
Z
b
a
f(x, y) dx,
что и требовалось получить.
Упражнение 6. Доказать, что
I =
Z
∞
0
sin x
x
dx =
π
2
. (8)
182          Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
                                                         Z   b
                                    6 (d − c) sup                f (x, y) dx → 0
                                               y∈[c,d]   η

при η → b − 0 в силу равномерной сходимости I(y). Следова-
тельно, и правая часть (7) имеет конечный предел, который по
определению несобственного интеграла есть правая часть (6).
   Переходя в равенстве (7) к пределу при η → b − 0, получаем
равенство (6).
   Упражнение 5. Получить теоремы 4 (при m = 1), 6 в
качестве следствий из теорем 26.2.2, 26.2.3. Сравнить с дока-
зательством теорем 16.3.10 , 16.3.20 .
    Теорема 7 (о дифференцировании под знаком инте-
грала). Пусть функции f , ∂f      ∂y непрерывны на [a, b) × [c, d].
Пусть для некоторого y0 ∈ [c, d] сходится интеграл I(y0 ) =
= a f (x, y0 ) dx, а интеграл a ∂f
  Rb                           Rb
                                   ∂y (x, y) dx сходится равномерно
на [c, d].
    Тогда функция I(y) дифференцируема и
                                Z b
                       d             ∂f
                         I(y) =         (x, y) dx.
                      dy          a ∂y
   Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 6 при y ∈ [c, d]
Z   y
   Z b                    Z b
       fy0 (x, t) dx dt =     (f (x, y) − f (x, y0 )) dx =
 y0 a                      a             Z b               Z b
                                      =      f (x, y) dx −     f (x, y0 ) dx.
                                          a                       a
   Первый из интегралов в правой части сходится в силу схо-
димости второго интеграла и интеграла в средней части ра-
венства. Дифференцируя полученное тождество, имеем
              Z b                    Z b
                   0               d
                  fy (x, y) dx =         f (x, y) dx,
               a                  dy a
что и требовалось получить.
   Упражнение 6. Доказать, что
                          Z ∞
                               sin x        π
                     I=              dx = .             (8)
                           0     x          2

Страницы