Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 183
У к а з а н и е. Вычислить предварительно вспомога-
тельный интеграл
I(α) =
Z
∞
0
e
−αx
sin x
x
dx, α > 0,
найдя его производную
d
dα
I(α) с помощью дифференцирования
под знаком интеграла. Воспользоваться затем упражнением 2.
Иногда для доказательства равномерной сходимости несоб-
ственного интеграла бывает полезно применить интегрирова-
ние по частям, «улучшающее» сходимость интеграла.
Пример 2.
I(y) =
Z
∞
1
1
x
cos yx dx, Y = (y
0
, +∞), y
0
> 0.
Этот интеграл сходится, но не абсолютно (ср. с примером
14.7.3). После интегрирования по частям возникает интеграл
R
∞
1
1
x
2
sin yx
y
dx, сходящийся абсолютно и по признаку Вейер-
штрасса — равномерно на Y .
Приведем точные рассуждения. В соответствии с опреде-
лением 1 следует оценить
sup
y>y
0
Z
∞
η
1
x
cos yx dx
=
= sup
y>y
0
1
x
·
sin yx
y
∞
x=η
+
Z
∞
η
1
x
2
sin yx
y
dx
6
6 sup
y>y
0
2
ηy
=
2
ηy
0
→ 0 при η → +∞.
Следовательно, I(y) сходится равномерно на Y .
Приведем два признака (признаки Дирихле и Аб еля) рав-
номерной сходимости интеграла
I(y) =
Z
∞
a
f(x, y)g(x, y) dx, y ∈ Y, a ∈ R, (9)
где функции f, g: [a, +∞) × Y → R, f и
∂g
∂y
непрерывны по x
при ∀y ∈ Y , функция g монотонна по x ∀y ∈ Y .
  § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра   183

   У к а з а н и е. Вычислить предварительно вспомога-
тельный интеграл
                    Z ∞
                             sin x
             I(α) =     e−αx       dx, α > 0,
                     0         x
найдя его производную dαd I(α) с помощью дифференцирования
под знаком интеграла. Воспользоваться затем упражнением 2.
   Иногда для доказательства равномерной сходимости несоб-
ственного интеграла бывает полезно применить интегрирова-
ние по частям, «улучшающее» сходимость интеграла.
   Пример 2.
              Z ∞
                  1
       I(y) =       cos yx dx, Y = (y0 , +∞), y0 > 0.
               1  x
Этот интеграл сходится, но не абсолютно (ср. с примером
14.7.3). После интегрирования по частям возникает интеграл
R ∞ 1 sin yx
 1   2   y   dx, сходящийся абсолютно и по признаку Вейер-
   x
штрасса — равномерно на Y .
   Приведем точные рассуждения. В соответствии с опреде-
лением 1 следует оценить
     Z ∞
         1
sup        cos yx dx =
y>y0  η  x
                  1 sin yx ∞
                               Z ∞
                                   1 sin yx
         = sup      ·        +              dx 6
            y>y0 x     y x=η    η  x2 y
                                  2    2
                        6 sup       =     →0   при η → +∞.
                          y>y0   ηy   ηy0
   Следовательно, I(y) сходится равномерно на Y .
   Приведем два признака (признаки Дирихле и Абеля) рав-
номерной сходимости интеграла
               Z ∞
        I(y) =     f (x, y)g(x, y) dx, y ∈ Y, a ∈ R, (9)
                a
                                        ∂g
где функции f, g: [a, +∞) × Y → R, f и ∂y   непрерывны по x
при ∀ y ∈ Y , функция g монотонна по x ∀ y ∈ Y .

Страницы