Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

184 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра
Теорема 8 (признак Дирихле). Пусть
1.
◦
интегралы
Z
η
a
f(x, y) dx
равномерно ограничены, т. е. существует число M > 0
такое, что
Z
η
a
f(x, y) dx
6 M ∀η ∈ [a, +∞), ∀y ∈ Y,
2.
◦
g(x, y) ⇒
Y
0 при x → +∞.
Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием Коши
равномерной сходимости несобственного интеграла (тео-
рема 1). Оценим для этого при a < η
0
< η
00
< ∞ интеграл
α(η
0
, η
00
, y) B
Z
η
00
η
0
f(x, y)g(x, y) dy =
= g(x, y)
Z
x
η
0
f(ξ, y) dξ
η
00
x=η
0
−
Z
η
00
η
0
Z
x
η
0
f(ξ, y) dξ
g
0
x
(x, y) dx.
Тогда
|α(η
0
, η
00
, y)| 6 |g(η
00
, y)|2M + 2M
Z
η
00
η
0
|g
0
x
(x, y)|dx =
= 2M
"
|g(η
00
, y)| +
Z
η
00
η
0
g
0
x
(x, y) dx
#
6
6 2M[2|g(η
00
, y)| + |g(η
0
, y)|].
Следовательно, для ∀ε > 0 ∃η
ε
∈ [a, ∞) такое, что
sup
y∈Y
|α(η
0
, η
00
, y)| < ε, если η
0
, η
00
> η
ε
,
и теорема доказана.
Теорема 9 (признак Абеля). Пусть
1.
◦
интеграл
Z
∞
a
f(x, y) dy
сходится равномерно на Y ,
184             Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

      Теорема 8 (признак Дирихле). Пусть
      1.◦ интегралы       Z η
                              f (x, y) dx
                                                a
            равномерно ограничены, т. е. существует число M > 0
            такое, что
                  Z η
                      f (x, y) dx 6 M ∀ η ∈ [a, +∞), ∀ y ∈ Y,
                      a
      2.◦   g(x, y) ⇒ 0 при x → +∞.
                      Y
Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием Коши
равномерной сходимости несобственного интеграла (тео-
рема 1). Оценим для этого при a < η 0 < η 00 < ∞ интеграл
               Z η00
   0 00
α(η , η , y) B       f (x, y)g(x, y) dy =
                       η0
                  Z   x                 η 00        Z   η 00   Z   x              
      = g(x, y)           f (ξ, y) dξ           −                       f (ξ, y) dξ gx0 (x, y) dx.
                  η0                    x=η 0       η0            η0
Тогда
                                           Z η00
|α(η 0 , η 00 , y)| 6 |g(η 00 , y)|2M + 2M       |gx0 (x, y)| dx =
                                            η 0
                            "             Z 00                 #
                                                        η
                  = 2M |g(η 00 , y)| +                         gx0 (x, y) dx    6
                                                    η0

                                                            6 2M [2|g(η 00 , y)| + |g(η 0 , y)|].
      Следовательно, для ∀ ε > 0 ∃ ηε ∈ [a, ∞) такое, что
                sup |α(η 0 , η 00 , y)| < ε,            если        η 0 , η 00 > ηε ,
                y∈Y
и теорема доказана.
      Теорема 9 (признак Абеля). Пусть
      1.◦ интеграл        Z ∞
                              f (x, y) dy
                                                a
            сходится равномерно на Y ,

Страницы