Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 186 стр.

186        Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

   Интеграл (10) рассматриваем как несобственный с двумя
особенностями: на нижнем и на верхнем пределах. Представим
Γ(s) в виде        Z 1               Z +∞
            Γ(s) =     xs−1 e−x dx +      xs−1 e−x dx. (11)
                   0                  1

    Легко видеть, что первый интеграл сходится при s > 0 и
расходится при s 6 0, а второй сходится при ∀ s > 0. Следова-
тельно, интеграл (10) сходится при ∀ s > 0.
    Интеграл (10) сходится равномерно на ∀ [s0 , s1 ] ⊂ (0, +∞),
т. к.   на таком отрезке равномерно сходятся оба инте-
грала в (11), что устанавливается с помощью признака Вей-
ерштрасса с мажорантами соответственно ϕ0 (x) = xs0 −1 ,
ϕ1 (x) = xs1 −1 e−x . Следовательно, гамма-функция Γ(s) непре-
рывна при s > 0 по теореме 4.
    С помощью интегрирования по частям имеем при s > 0
          Z +∞                      +∞ Z +∞
                  s −x         s −x
Γ(s+1) =         x e dx = −x e        +s    xs−1 e−x dx = sΓ(s).
           0                      0       0

   Последовательно применяя полученное соотношение при
s > 0 имеем
            Γ(s + n) = (s + n − 1) . . .(s + 1)sΓ(s).
Из этой формулы видно, что по значениям гамма-функции на
полуинтервале (0, 1] можно вычислить ее значения для любого
аргумента s > 1.
   Поскольку Γ(1) = 1, из последнего соотношения получаем,
что                 Γ(n + 1) = n!, n ∈ N,
т. е. что функция Γ(s + 1) является продолжением функции
s! с множества целых неотрицательных чисел n на полуось
{s: s > −1}.
    Пример 4. (Бета-функция Эйлера).
                         Z 1
               B(p, q) =     xp−1 (1 − x)q−1 dx,     (12)
                           0
зависящая от двух параметров p, q. Интеграл (12) рассматри-
ваем как несобственный с двумя особенностями: на нижнем и