Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 187
на верхнем пределах интегрирования. Представим его поэтому
в виде
B(p, q) =
Z
1/2
0
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx +
Z
1
1/2
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx. (13)
Первый из интегралов в (13) сходится при p > 0 и расхо-
дится при p 6 0, а второй сходится при q > 0 и расходится при
q 6 0. Следовательно, бета-функция B(p, q) (12) определена на
первом квадранте (0, +∞) × (0, +∞).
Интеграл B(p, q) (12) равномерно сходится на
{(p, q) : p > p
0
, q > q
0
} при p
0
, q
0
> 1,
т. к. на э том множестве равномерно сходится каждый из инте-
гралов (13), что легко установить, применив признак Вейер-
штрасса с мажорантой ϕ(x) = x
p
0
−1
(1−x)
q
0
−1
. Следовательно,
по теореме 4 бета-функция B(p, q) непрерывна на первом ква-
дранте:
{(p, q) : p > 0, q > 0} = (0, +∞) × (0, +∞).
Функции B(p, q) и Γ(s) связаны между собой формулой Эй-
лера:
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
, p > 0, q > 0.
Для функций Γ(s), B(p, q) составлены таблицы значений.
Они используются при численном вычислении интегралов, сво-
дящихся к этим функциям.
  § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра    187

на верхнем пределах интегрирования. Представим его поэтому
в виде
            Z 1/2                Z 1
                   p−1     q−1
  B(p, q) =       x (1 − x) dx +     xp−1 (1 − x)q−1 dx. (13)
            0                             1/2
   Первый из интегралов в (13) сходится при p > 0 и расхо-
дится при p 6 0, а второй сходится при q > 0 и расходится при
q 6 0. Следовательно, бета-функция B(p, q) (12) определена на
первом квадранте (0, +∞) × (0, +∞).
   Интеграл B(p, q) (12) равномерно сходится на
         {(p, q) : p > p0 ,    q > q0 }   при p0 , q0 > 1,
т. к. на этом множестве равномерно сходится каждый из инте-
гралов (13), что легко установить, применив признак Вейер-
штрасса с мажорантой ϕ(x) = xp0 −1 (1−x)q0 −1 . Следовательно,
по теореме 4 бета-функция B(p, q) непрерывна на первом ква-
дранте:
        {(p, q) : p > 0,      q > 0} = (0, +∞) × (0, +∞).
   Функции B(p, q) и Γ(s) связаны между собой формулой Эй-
лера:
                      Γ(p)Γ(q)
            B(p, q) =          , p > 0, q > 0.
                      Γ(p + q)
   Для функций Γ(s), B(p, q) составлены таблицы значений.
Они используются при численном вычислении интегралов, сво-
дящихся к этим функциям.

Страницы