Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§27.1. Интеграл Фурье 189
Тогда при y, y × ∆y ∈ [c, d]
∆I B I(y + ∆y) − I(y) =
=
Z
ξ
a
+
Z
η
ξ
+
Z
b
η
f(x)[ϕ(x, y + ∆y) − ϕ(x, y)] dx,
|∆I| 6 2M ε + ω(∆y, ϕ, Π)
Z
b
a
|f(x)|dx + 2Mε, (1)
где ω(δ, ϕ, Π) — модуль непрерывности функции ϕ на замкну-
том прямоугольнике Π = [ξ, η] × [c, d].
Поскольку ϕ равномерно непрерывна на Π, то можно ука-
зать δ = δ(ε) > 0 такое, что ω(δ
ε
, ϕ, Π) < ε.
Тогда из (1) получаем, что
|∆I| 6 4M ε + ε
Z
b
a
|f(x)|dx.
Следовательно, интеграл I(y) непрерывен на [c, d].
2
◦
. При ε > 0 обозначим через f
ε
: (a, b) → R непрерывную
финитную (т. е. равную нулю вне некоторого отрезка [α, β])
функцию такую, что
Z
b
a
|f(x) − f
ε
(x)|dx < ε.
Для каждого ε > 0 такая функция f
ε
существует в силу
следствия 14.8.1.
Тогда
Z
d
c
Z
b
a
f
ε
(x)ϕ(x, y) dx dy =
Z
b
a
f
ε
(x)
Z
d
c
ϕ(x, y) dy dx. (2)
Переходя в этом равенстве к пределу при ε → 0, получим
утверждение 2
◦
теоремы.
Предельный переход в левой части равенства (2) обосновы-
вается с помощью оценок:
Z
d
c
Z
b
a
[f(x) − f
ε
(x)]ϕ(x, y) dx dy
6
6 M (d − c)
Z
b
a
|f(x) − f
ε
(x)|dx 6 M(d − c)ε.
                          § 27.1. Интеграл Фурье                                 189

Тогда при y, y × ∆y ∈ [c, d]
∆I B I(y + ∆y) − I(y) =
             Z ξ Z η Z b 
           =       +    +   f (x)[ϕ(x, y + ∆y) − ϕ(x, y)] dx,
                      a        ξ    η
                                                    Z   b
              |∆I| 6 2M ε + ω(∆y, ϕ, Π)                     |f (x)| dx + 2M ε,   (1)
                                                    a
где ω(δ, ϕ, Π) — модуль непрерывности функции ϕ на замкну-
том прямоугольнике Π = [ξ, η] × [c, d].
   Поскольку ϕ равномерно непрерывна на Π, то можно ука-
зать δ = δ(ε) > 0 такое, что ω(δε , ϕ, Π) < ε.
   Тогда из (1) получаем, что
                                  Z b
                  |∆I| 6 4M ε + ε      |f (x)| dx.
                                                a
   Следовательно, интеграл I(y) непрерывен на [c, d].
   2◦ . При ε > 0 обозначим через fε : (a, b) → R непрерывную
финитную (т. е. равную нулю вне некоторого отрезка [α, β])
функцию такую, что
                   Z b
                       |f (x) − fε (x)| dx < ε.
                           a
   Для каждого ε > 0 такая функция fε существует в силу
следствия 14.8.1.
   Тогда
     Z dZ b                       Z b        Z d
            fε (x)ϕ(x, y) dx dy =     fε (x)     ϕ(x, y) dy dx. (2)
          c    a                                a               c
   Переходя в этом равенстве к пределу при ε → 0, получим
утверждение 2◦ теоремы.
   Предельный переход в левой части равенства (2) обосновы-
вается с помощью оценок:
 Z dZ b
        [f (x) − fε (x)]ϕ(x, y) dx dy 6
  c   a
                                        Z   b
                       6 M (d − c)              |f (x) − fε (x)| dx 6 M (d − c)ε.
                                        a

Страницы