Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

190 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Обоснование предельного перехода в правой части (2) ана-
логично.
Определение 1. Пусть f абсолютно интегрируема на
(−∞, +∞). Интегралом Фурье функции f называется инте-
грал
S(x) = S(x, f) B
Z
+∞
0
[a(y) cos xy + b(y) sin xy] dy, (3)
где
(
a(y)
b(y)
)
=
1
π
Z
+∞
−∞
f(t)
(
cos yt
sin yt
)
dt. (4)
Лемма 2. Пусть f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞).
Тогда функции a(y), b(y) из (4)
1.
◦
непрерывны на (−∞, +∞);
2.
◦
a(y), b(y) → 0 при y → ±∞.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из леммы 1 и тео-
ремы 24.1.1 Римана об осцилляции.
Из леммы 2 следует, что интеграл S(x) из (3) является
несобственным интегралом с одной особенностью на верхнем
пределе.
Как видим, правая часть (3) является аналогом ряда Фурье,
а a(y), b(y) из (4) — аналогами коэффициентов Фурье.
Перепишем S(x, f ) в виде
S(x) =
1
π
Z
+∞
0
Z
+∞
−∞
f(t)(cos ty cos xy + sin ty sin xy) dt dy =
=
1
π
Z
∞
0
Z
+∞
−∞
f(t) cos y(x − t) dt dy.
Изучим сходимость интеграла Фурье (т. е. внешнего инте-
грала в правой части последнего равенства). Рассмотрим для
этого интеграл
S
η
(x) B
1
π
Z
η
0
Z
+∞
−∞
f(t) cos y(x − t) dt dy, η > 0,
(являющийся аналогом суммы Фурье).
190       Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

   Обоснование предельного перехода в правой части (2) ана-
логично.
   Определение 1. Пусть f абсолютно интегрируема на
(−∞, +∞). Интегралом Фурье функции f называется инте-
грал
                        Z +∞
      S(x) = S(x, f ) B      [a(y) cos xy + b(y) sin xy] dy, (3)
                            0
где             (      )              (        )
                           1 +∞
                            Z
                 a(y)                  cos yt
                         =      f (t)            dt.                (4)
                  b(y)     π −∞         sin yt
   Лемма 2. Пусть f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞).
Тогда функции a(y), b(y) из (4)
   1.◦ непрерывны на (−∞, +∞);
   2.◦ a(y), b(y) → 0 при y → ±∞.
   Доказательство                 следует из леммы 1 и тео-
ремы 24.1.1 Римана об осцилляции.
   Из леммы 2 следует, что интеграл S(x) из (3) является
несобственным интегралом с одной особенностью на верхнем
пределе.
   Как видим, правая часть (3) является аналогом ряда Фурье,
а a(y), b(y) из (4) — аналогами коэффициентов Фурье.
   Перепишем S(x, f ) в виде
         1 +∞ +∞
          Z      Z
S(x) =                f (t)(cos ty cos xy + sin ty sin xy) dt dy =
        π 0       −∞
                                 1 ∞ +∞
                                    Z Z
                              =                f (t) cos y(x − t) dt dy.
                                 π 0      −∞
   Изучим сходимость интеграла Фурье (т. е. внешнего инте-
грала в правой части последнего равенства). Рассмотрим для
этого интеграл
                1 η +∞
                 Z Z
       Sη (x) B          f (t) cos y(x − t) dt dy, η > 0,
                π 0 −∞
(являющийся аналогом суммы Фурье).

Страницы