Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

192 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
=
f(x
0
+ 0) + f(x
0
− 0)
2
;
2.
◦
если же x
0
— регулярная точка функции f, то
S(x
0
, f) = f(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (6), получим
S
η
(x
0
) −
f(x
0
+ 0) + f(x
0
− 0)
2
=
=
1
π
Z
∞
0
[f(x
0
+ t) − f(x
0
+ 0)]
sin ηt
t
dt+
+
1
π
Z
∞
0
[f(x
0
− t) − f(x
0
− 0)]
sin ηt
t
dt =
=
1
π
J
+
(η) +
1
π
J
−
(η).
Представим J
+
(η) при η > 1 в виде
J
+
(η) =
Z
1
0
f(x
0
+ t) − f(x
0
+ 0)
t
sin ηt dt+
+
Z
∞
1
f(x
0
+ t)
t
sin ηt dt −f(x
0
+ 0)
Z
∞
η
sin u
u
du =
= J
+
1
(η) + J
+
2
(η) −f(x
0
+ 0)J
+
3
(η).
Интегралы J
+
1
(η), J
+
2
(η) → 0 при η → +∞ по теореме 24.1.1
Римана об осцилляции. Интеграл J
+
3
(η) → 0 при η → +∞
в силу сходимости интеграла
R
∞
0
sin u
u
du. Следовательно,
J
+
3
(η) → 0 и аналогично J
−
(η) → 0 при η → +∞.
Таким образом, теорема 1 установлена.
Многие свойства интегралов Фурье аналогичны соответ-
ствующим свойствам рядов Фурье по тригонометрической си-
стеме. В качестве примера можно сравнить формулировки те-
орем 1 и 24.2.1. Для интегралов Фурье, как и для рядов Фурье,
справедлив принцип локализации, аналогично формулируются
различные условия сходимости в точке (например, в терминах
условий Гёльдера) и равномерной сходимости, одинаково влия-
ние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и
интегралов Фурье, имеется аналог равенства Парсеваля и т. п.
192        Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

                                         f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
                                           =                     ;
                                                    2
      2.◦ если же x0 — регулярная точка функции f , то
                             S(x0 , f ) = f (x0 ).
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (6), получим
           f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
Sη (x0 ) −                            =
                   Z ∞2
                 1                                 sin ηt
              =         [f (x0 + t) − f (x0 + 0)]          dt+
                 π 0                                   t
                1 ∞
                   Z
                                                   sin ηt
              +        [f (x0 − t) − f (x0 − 0)]          dt =
                π 0                                   t
                                                       1          1
                                                  = J + (η) + J − (η).
                                                       π          π
     Представим J + (η) при η > 1 в виде
           Z 1
               f (x0 + t) − f (x0 + 0)
J + (η) =                                sin ηt dt+
            0               t
          Z ∞                                      Z ∞
                f (x0 + t)                               sin u
        +                   sin ηt dt − f (x0 + 0)             du =
            1        t                               η     u
                               = J1+ (η) + J2+ (η) − f (x0 + 0)J3+ (η).
     Интегралы J1+ (η), J2+ (η) → 0 при η → +∞ по теореме 24.1.1
Римана об осцилляции. Интеграл J3+ (η) → 0 при η → +∞
                                    R∞
в силу сходимости интеграла 0 sinu u du. Следовательно,
J3+ (η) → 0 и аналогично J − (η) → 0 при η → +∞.
     Таким образом, теорема 1 установлена.
     Многие свойства интегралов Фурье аналогичны соответ-
ствующим свойствам рядов Фурье по тригонометрической си-
стеме. В качестве примера можно сравнить формулировки те-
орем 1 и 24.2.1. Для интегралов Фурье, как и для рядов Фурье,
справедлив принцип локализации, аналогично формулируются
различные условия сходимости в точке (например, в терминах
условий Гёльдера) и равномерной сходимости, одинаково влия-
ние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и
интегралов Фурье, имеется аналог равенства Парсеваля и т. п.

Страницы