Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

194 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
чит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда по теореме 1 для
∀x ∈ R
f(x) =
1
π
Z
∞
0
Z
∞
−∞
f(t) cos y(x − t) dt dy =
=
1
2π
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f(t) cos y(x − t) dt dy.
В то же время вследствие нечетности функции sin x
0 = v.p.
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f(t) sin y(x − t) dt dy.
Умножив последнее равенство почленно на
i
2π
и сложив с пре-
дыдущим, получим
f(x) =
1
2π
v.p.
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
f(t)e
iy(x−t)
dt dy. (7)
Последняя формула называется комплексной записью ин-
теграла Фурье.
§ 27.2. Преобразование Фурье
Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и
в каждой точке x оси имеет односторонние производные f
0
+
(x),
f
0
−
(x) (а значит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда она может
быть разложена в интеграл Фурье. Это разложение, имеющее
в комплексной форме вид (27.1.7), можно переписать так:
f(x) = v.p.
1
√
2π
Z
+∞
−∞
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(t)e
−iyt
dt
e
ixy
dy. (1)
Правая часть (1) представляет собой результат двух после-
довательно примененных интегральных преобразований.
Определение 1. Пусть функция f : (−∞, +∞) → C (ком-
плекснозначная) абсолютно интегрируема на любом отрезке
[−η, η] ⊂ (−∞, +∞).
Преобразование Фурье функции f определяется формулой
ˆ
f(y) = F [f ](y) B v.p.
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(x)e
−iyx
dx. (2)
194        Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

чит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда по теореме 1 для
∀x ∈ R
        1 ∞ ∞
         Z Z
f (x) =         f (t) cos y(x − t) dt dy =
        π 0  −∞
                               Z +∞ Z +∞
                             1
                        =                  f (t) cos y(x − t) dt dy.
                            2π −∞ −∞
      В то же время вследствие нечетности функции sin x
                      Z +∞ Z +∞
             0 = v.p.           f (t) sin y(x − t) dt dy.
                       −∞   −∞

Умножив последнее равенство почленно на 2π  i и сложив с пре-
дыдущим, получим
                        Z +∞ Z +∞
                 1
        f (x) =    v.p.           f (t)eiy(x−t) dt dy.    (7)
                2π       −∞   −∞
   Последняя формула называется комплексной записью ин-
теграла Фурье.

               § 27.2. Преобразование Фурье
     Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и
в каждой точке x оси имеет односторонние производные f+0 (x),
f−0 (x) (а значит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда она может
быть разложена в интеграл Фурье. Это разложение, имеющее
в комплексной форме вид (27.1.7), можно переписать так:
                      Z +∞      Z +∞              
                   1          1             −iyt
    f (x) = v.p. √           √        f (t)e     dt eixy dy. (1)
                   2π −∞       2π −∞
   Правая часть (1) представляет собой результат двух после-
довательно примененных интегральных преобразований.
   Определение 1. Пусть функция f : (−∞, +∞) → C (ком-
плекснозначная) абсолютно интегрируема на любом отрезке
[−η, η] ⊂ (−∞, +∞).
   Преобразование Фурье функции f определяется формулой
                                      Z +∞
                                   1
         fˆ(y) = F [f ](y) B v.p. √        f (x)e−iyx dx. (2)
                                    2π −∞

Страницы