Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§27.2. Преобразование Фурье 195
Обратное преобразование Фурье функции f определяется фор-
мулой
˜
f(y) = F
−1
[f](y) B v.p.
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(x)e
iyx
dx. (3)
В частности, если f — комплекснозначная абсолютно ин-
тегрируемая на (−∞, +∞) функция, то
F [f](y) =
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(x)e
−iyx
dx,
F
−1
[f](y) =
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(x)e
iyx
dx.
(4)
Теорема 1. Пусть f: (−∞, +∞) → R абсолютно интегри-
руема на (−∞, +∞) и имеет в каждой точке обе односторонние
производные, то
F
−1
[F [f]] = f, F [F
−1
[f]] = f. (5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая из формул (5) совпадает с
ранее установленной формулой (1). Вторая получается приме-
нением первой к функции f
∗
(x) B f (−x).
Формулы (5) называют формулами обращения.
З а м е ч а н и е 1. Теорема 1 установлена для
действительнозначных функций f. Она справедлива и для
комплекснозначных функций f действительного аргумента (f :
(−∞, +∞) → C), поскольку каждую такую функцию можно
представить в виде f(x) = g(x) + ih(x), где g, h: (−∞, +∞) →
→ R, и воспользоваться теоремой 1 для функций f и h.
Эти же соображения применимы и при выводе ряда дру-
гих свойств преобразований F и F
−1
. Поэтому при их форму-
лировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением
лишь действительнозначных функций.
Установим некоторые свойства преобразования Фурье аб-
солютно интегрируемых функций (f
1
, f
2
, f):
1.
◦
(линейность)
F [λ
1
f
1
+ λ
2
f
2
] = λ
1
F [f
1
] + λ
2
F [f
2
] ∀λ
1
, λ
2
∈ C,
                 § 27.2. Преобразование Фурье                           195

Обратное преобразование Фурье функции f определяется фор-
мулой
                                      Z +∞
        ˜        −1               1
       f (y) = F [f ](y) B v.p.  √           f (x)eiyx dx. (3)
                                   2π −∞
   В частности, если f — комплекснозначная абсолютно ин-
тегрируемая на (−∞, +∞) функция, то
                               Z +∞
                            1
               F [f ](y) = √         f (x)e−iyx dx,
                             2π −∞
                               Z +∞                        (4)
               −1           1              iyx
             F [f ](y) = √           f (x)e dx.
                             2π −∞

   Теорема 1. Пусть f : (−∞, +∞) → R абсолютно интегри-
руема на (−∞, +∞) и имеет в каждой точке обе односторонние
производные, то
                F −1 [F [f ]] = f,   F [F −1 [f ]] = f.                 (5)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая из формул (5) совпадает с
ранее установленной формулой (1). Вторая получается приме-
нением первой к функции f ∗ (x) B f (−x).
   Формулы (5) называют формулами обращения.
   З а м е ч а н и е 1. Теорема 1 установлена для
действительнозначных функций f . Она справедлива и для
комплекснозначных функций f действительного аргумента (f :
(−∞, +∞) → C), поскольку каждую такую функцию можно
представить в виде f (x) = g(x) + ih(x), где g, h: (−∞, +∞) →
→ R, и воспользоваться теоремой 1 для функций f и h.
   Эти же соображения применимы и при выводе ряда дру-
гих свойств преобразований F и F −1 . Поэтому при их форму-
лировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением
лишь действительнозначных функций.
   Установим некоторые свойства преобразования Фурье аб-
солютно интегрируемых функций (f1 , f2 , f ):
   1.◦ (линейность)
          F [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F [f1 ] + λ2 F [f2 ] ∀ λ1 , λ2 ∈ C,

Страницы